Question

calcule o valor do determinante da matriz A:

a= [ 0 1 0 2 ]
[ 1 3 1 4 ]
[ 0 1 0 5 ]
[ 1 0 3 1 ]
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Answer 1

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$\tt A=\begin{bmatrix}\sf0&\sf1&\sf0&\sf2\\\sf1&\sf3&\sf1&\sf4\\\sf0&\sf1&\sf0&\sf5\\\sf1&\sf0&\sf3&\sf1\end{bmatrix}$

$\sf det~A=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}\\\sf mas~a_{11}=a_{13}=0\\\sf da\acute i:~det~A=a_{12}A_{12}+a_{14}A_{14}$

$\sf A_{12}=(-1)\cdot\begin{bmatrix}\sf1&\sf1&\sf4\\\sf0&\sf0&\sf5\\\sf1&\sf3&\sf1\end{bmatrix}\\\sf A_{12}=(-1)[1\cdot(0-15)-1\cdot(0-5)+4\cdot(0)]\\\sf A_{12}=(-1)[-15+5]=(-1)\cdot(-10)=10$

$\sf A_{14}=-1\cdot\begin{bmatrix}\sf1&\sf3&\sf1\\\sf0&\sf1&\sf0\\\sf1&\sf0&\sf3\end{bmatrix}\\\sf A_{14}=-1\left[1\cdot(3-0)-3\cdot(0)+1\cdot(-1)\right]\\\sf A_{14}=-1[3-1]\\\sf A_{14}=-2$

$\sf det~A=1\cdot10+2\cdot(-2)\\\sf det~A=10-4\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf det~A=6\checkmark}}}}$

Answer 2

Temos a seguinte matriz:

$A=\begin{bmatrix}0&1&0&2\\1&3&1&4\\0&1&0&5\\1&0&3&1\end{bmatrix}$

Vemos que é uma matriz de ordem 4 (quatro linha e quatro colunas). Para calcular o valor do determinante vamos aplicar o Teorema de Laplace, que diz: escolhendo uma fila, o determinante será a soma entre cada elemento dessa fila multiplicado pelo seu cofator

$~~$

$\underbrace{Veja:}$

• Primeiro devemos escolher uma fila (linha ou coluna) que possua mais zeros, assim terá menos cálculos a se fazer. Irei escolher a primeira coluna, pois tem dois zeros:

$\Rightarrow~~\begin{vmatrix}~0~\\~1~\\~0~\\~1~\end{vmatrix}$

• Como diz o teorema, o determinante será a soma entre cada elemento dessa linha multiplicado pelo seu respectivo cofator:

$Det~(A)=0\cdot C_{11}+1\cdot C_{21}+0\cdot C_{31}+1\cdot C_{41}$

• Tendo os zeros multiplicando, podemos desconsiderar, ficando somente:

$Det~(A)=1\cdot C_{21}+1\cdot C_{41}$

$~~$

=> Agora iremos calcular os cofatores. A fórmula é dada por:

$C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}$

• Obs.: Lembre-se que i = linha, e j = coluna  //  Para calcular o Dij (determinante da nova matriz), exclua a linha e a coluna formando uma matriz 3x3, e aí calcule o determinante aplicando a Regra de Sarrus

$~~$

Cofator linha 2, coluna 1:

$C_{11}=(-1)^{2+1}\cdot D_{11}$

$C_{21}=(-1)^{3}\cdot \begin{bmatrix}1&0&2\\1&0&5\\0&3&1\end{bmatrix}$

Pela Regra de Sarrus: repita as duas colunas inicias ao lado da matriz, faça a multiplicação da diagonal principal e subtraia da diagonal secundária

$C_{21}=-1\cdot \begin{vmatrix}1&0&2\\1&0&5\\0&3&1\end{vmatrix}\begin{matrix}1&0\\1&0\\0&3\end{matrix}$

$C_{21}=-1[(1.0.1+0.5.0+2.1.3)-(2.0.0+1.5.3+0.1.1)]$

$C_{21}=-1[(0+0+6)-(0+15+0)]$

$C_{21}=-1[6-(15)]$

$C_{21}=-1[-9]$

$\boxed{C_{21}=9}$

$~~$

Cofator linha 4, coluna 1:

$C_{41}=(-1)^{4+1}\cdot D_{41}$

$C_{41}=(-1)^{5}\cdot \begin{bmatrix}1&0&2\\3&1&4\\1&0&5\end{bmatrix}$

$C_{41}=-1\cdot \begin{vmatrix}1&0&2\\3&1&4\\1&0&5\end{vmatrix}\begin{matrix}1&0\\3&1\\1&0\end{matrix}$

$C_{41}=-1[1.1.5+0.4.1+2.3.0-(2.1.1+1.4.0+0.3.5)]$

$C_{41}=-1[5+0+0-(2+0+0)]$

$C_{41}=-1[5-(2)]$

$C_{41}=-1[3]$

$\boxed{C_{41}=-3}$

$~~$

• Encontrado os cofatores, basta substituir para encontrarmos o valor do determinante:

$Det~(A)=1\cdot C_{21}+1\cdot C_{41}$

$Det~(A)=1\cdot (9)+1\cdot (-3)$

$Det~(A)=9-3$

$\boxed{Det~(A)=6}$

$~~$

Resposta: O determinante da matriz A é 6

$~~$

Att. Nasgovaskov

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