Question

Calcule o valor de x para que x -2, x + 4 e 8x
sejam, nesta ordem, termos consecutivos de uma PG
crescente.

Answer 1

Resposta:

A PG dada é

P.G. = {..., x –2, x +4, 8x, ...}

A razão de uma PG é fixa (constante) e pode ser dada pela divisão de um termo pelo anterior.

Assim temos que

$\frac{x + 4 }{x - 2} = \frac{8x}{x + 4}$

$(x + 4)(x + 4)=(x -2) \times 8x \\ (x + 4)^2 \: \: \: \: = \: \: \: 8x \: \: \: (x -2) \: \: \: \: \: \: \\ x^2 + 2(x)(4) + 4^2 = 8x.x - 8x.2 \\ x^2 + 8x + 16 = 8x^2- 16x$

invertendo os lados:

$8x^2- 16x = x^2 + 8x + 16 \\ 8x^2 - x^2- 16x - 8x - 16 = 0 \\ 7x^2 - 24x - 16 = 0$

uma equação de 2º grau do tipo ax²+bx+c= 0

onde

a= 7

b= –24

c= –16

∆ = b² ± 4ac

∆ = (–24)² – 4(7)(–16)

∆ = 576 – (–448)

∆ = 576 +448 =1024

Bhaskara:

$x = \frac{-b \: \: ± \: \sqrt{∆} }{2 \: a} \\ x = \frac{ - ( - 24) \: \: ± \: \sqrt{1024} }{2 \times 7} \\ \: x = \frac{ 24 \: \: ± \: 32 }{14}$

x deve ser positivo e maior que zero, pois trata-se de uma PG crescente ( do enunciado). Portanto:

$x = \frac{ 24 \: \: + \: 32 }{14} = \frac{56}{14 } = 4$

O valor de x deve ser 4.

**CURIOSIDADE: A razão da PG é

$\frac{x + 4 }{x - 2} = \frac{4 + 4}{4 - 2} = \frac{8}{2} = 4$

$\frac{8x}{x + 4} = \frac{8 \times 4}{4 + 4} = \frac{32}{8} = 4$

( é apenas uma coincidência os valores de x e da razão serem os mesmos)