Question

Calcule o valor de x para que os números 3, x+2 e 5x-2 formem nesta orde uma P.G

Answer 1

Analisemos o enunciado:

Calcule o valor de x para que os números 3, x+2 e 5x-2 formem, nesta ordem, uma P.G.

Como "nessa ordem" devem formar uma P.G. intuímos que:
a1 = 3
a2 = x+2
a3 = 5x-2

P.G. = (3, x+2, 5x-2)

Uma propriedade trivial de P.G. trata-se do fato de a multiplicação entre os termos extremos gerar o quadrado do elemento intermediário.

3                     x+2                         5x-2
extremo'      intermediário           extremo''


extremo' x extremo'' = intermediário²
3. (5x-2) = (x+2)²
15x - 6 = x² + 4x + 4
x² + 4x - 15x + 4 + 6 =0
x² - 11x + 10 = 0

Δ = (-11)² - 4.(1).(10)
Δ = 121 - 40
Δ = 81 

x = -(-11) ± √81
    ---------------
           2.1

x' = 10
x'' = 1


Verificação (x =10) :

P.G. = (3, x+2, 5x-2)

a1 = 3
a2 = x+2 = 10+2 = 12
a3 = 5x-2 = 5.10 - 2 = 50 - 2 = 48 

Em uma P.G., como em toda lídima sequência, a razão deve ser igual entre os elementos:

q = a2/a1 = a3/a2

Vejamos se isso ocorre:

q = 12/3 = 48/12 = 4 (VERDADEIRO)
10 é uma SOLUÇÃO.



Vejamos com (x=1):
P.G. = (3, x+2, 5x-2)

a1 = 3
a2 = x+2 = 1+2 = 3
a3 = 5x-2 = 5.1 - 2 = 5 - 2 = 3

q = a2/a1 = a3/a2
q = 3/3 = 3/3 = 1
(VERDADEIRO)
1 é uma Solução.



Os valores de x são: 1 e 10.
S = {1, 10}