Question

calcule o valor de x na equaçao Cx.2=21

combinaçao simples

Answer 1

Temos que:

 

$\binom{\text{n}}{\text{k}}=\dfrac{\text{n}!}{\text{k}!\cdot(\text{n}-\text{k})!}$

 

Analogamente, temos:

 

$\binom{\text{x}}{2}=21$

 

$\dfrac{\text{x}!}{2!\cdot(\text{x}-2)!}=21$

 

Observe que:

 

$\text{x}!=\text{x}\cdot(\text{x}-1)\cdot(\text{x}-2)!$

 

Logo:

 

$\dfrac{\text{x}\cdot(\text{x}-1)\cdot(\text{x}-2)!}{2!\cdot(\text{x}-2)!}=21$

 

$\dfrac{\text{x}\cdot(\text{x}-1)}{2!}=21$

 

Donde, obtemos:

 

$\text{x}\cdot(\text{x}-1)=42$

 

$\text{x}^2-\text{x}-42=0$

 

$\text{x}=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-42)}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm13}{2}$

 

$\text{x}'=\dfrac{1+13}{2}=7$

 

$\text{x}"=\dfrac{1-13}{2}=-6$

 

Desse modo, como $\text{x}\in\mathbb{N}$, temos que $\text{x}=7$.