Question

Calcule o valor de n na equação log2ⁿ + log(1 + 2ⁿ) = log 20.​

Answer 1

$log( {2})^{n} + log(1 + {2}^{n} ) = log(20) \\ log{2}^{n}(1 + {2}^{n}) = log(20) \\ {2}^{n} (1 + {2}^{n} ) = 20$

Faça

${2}^{n} = k$

$k(1 + k) = 20 \\ {k}^{2} + k - 20 = 0$

A soma vale -1 e o produto -20 significa que as raízes tem sinais opostos. Dois números cuja soma é -1 e o produto -20 são 4 e -5 pois

4×(-5)=-20 e 4+(-5)=-1.

Portanto as raízes são 4 e -5,porém vamos admitir somente a solução positiva.

Daí

${2}^{n} = k \\ {2}^{n} = 4 \\ {2}^{n} = {2}^{2} \\ n = 2$