Question

calcule o valor de E na expressão: E = [10^2 + 20^2 + ... + 100^2] - [9^2 + 19^2 + ... + 99^2]

Answer 1

$E=\big[10^{2}+20^{2}+...+100^{2}\big]-\big[9^{2}+19^{2}+...+99^{2}\big]\\\\E=10^{2}+20^{2}+...+100^{2}-9^{2}-19^{2}-...-99^{2}$

Rearrumando as parcelas:

$E=10^{2}-9^{2}+20^{2}-19^{2}+...+100^{2}-99^{2}\\\\E=\big(10^{2}-9^{2}\big)+\big(20^{2}-19^{2}\big)+...+\big(100^{2}-99^{2}\big)$

(Temos sempre a diferença entre quadrados de números consecutivos)

Pelo quadrado da soma pela diferença de dois termos, temos que

$\boxed{\boxed{a^{2}-b^{2}=(a+b)\cdot(a-b)}}$

Então:

$\bullet\,\,10^{2}-9^{2}=(10+9)\cdot(10-9)=19\cdot1=19\\\\\bullet\,\,20^{2}-19^{2}=(20+19)\cdot(20-19)=39\cdot1=39\\\\\bullet\,\,30^{2}-29^{2}=(30+29)\cdot(30-29)=59\cdot1=59$

No geral:

$(n+1)^{2}-n^{2}=(n+1+n)\cdot(n+1-n)=(2n+1)\cdot1=2n+1$

Para todo n inteiro maior ou igual a zero.

Usando isso, podemos reescrever $E$ como

$E=\big(10^{2}-9^{2}\big)+\big(20^{2}-19^{2}\big)+...+\big(100^{2}-99^{2}\big)\\\\E=19+39+59+...+199$

E essa é a soma dos $x$ primeiros termos de uma progressão aritmética de razão $r=39-19=59-39=...=a_{x}-a_{x-1}=20$

Para acharmos a soma dos $x$ primeiros termos, precisamos saber quanto é $x$ (quantos termos possui essa P.A). Para isso, usaremos a fórmula do termo geral de uma P.A:

$\boxed{\boxed{a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r~~~\mathsf{para~qualquer~n\ge1}}}$

Sabemos que $a_{x}=199$, logo

$a_{x}=199\\\\a_{1}+(x-1)\cdot r=199\\\\19+(x-1)\cdot20=199\\\\(x-1)\cdot20=199-19\\\\(x-1)\cdot20=180$

Dividindo os dois lados por 20:

$(x-1)\cdot1=\frac{180}{20}\\\\x-1=9\\\\x=9+1\\\\\boxed{\boxed{x=10}}$
_________________________

A soma dos $n$ primeiros termos de uma P.A é dada por

$\boxed{\boxed{S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot\frac{n}{2}~~~~~~\mathsf{para~qualquer~n\ge1}}}$

Então, $E$ é a soma dos $x=10$ primeiros termos de uma P.A  com $a_{1}=19$, $a_{x}=a_{10}=199$. Portanto:

$E=S_{10}\\\\E=(a_{1}+a_{10})\cdot\frac{10}{2}\\\\E=(19+199)\cdot5\\\\E=218\cdot5\\\\\boxed{\boxed{E=1090}}$