Question

Calcule o valor da soma 1/3+2/9+4/27+...+

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre somas infinitas.

Seja a soma:

$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{27}+\cdots$

Observe que podemos reescrevê-la como o seguinte somatório:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2^{n-1}}{3^n}}$

Aplicando a propriedade de potências, temos que $2^{n-1}=\dfrac{2^n}{2}$, assim o somatório se torna:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2^{n}}{3^n\cdot 2}}\\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}~\dfrac{2^{n}}{3^n}}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}$

Observe que esta é uma série geométrica. Estas séries da forma $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}~x^n=\dfrac{x}{1-x}$ apresentam esta fórmula fechada. Assim, teremos:

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{2}{3}}}$

Some os valores no denominador

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{3-2}{3}}\\\\\\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{3}}$

Calcule a fração de frações e multiplique os valores

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{1}\\\\\\ 1~~\checkmark$

Este é o resultado desta soma infinita.