Question

Calcule o valor da integral indefinida usando o método para decompor em frações parciais.
teorema a ser usado: ∫$\frac{P(x)}{(x-\alpha)(x-\beta ) }$= A In $|x-\alpha |+BIn|x-\beta |+k$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Explicação passo-a-passo:

Calcular a integral indefinida :

$~~~~~~~\displaystyle\int\dfrac{x^2+3x+1}{x^2-2x-3}dx$

Primeiro vamos factorizar o denominador :

$~~~~~=~\displaystyle\int\dfrac{x^2+3x+1}{(x-3)(x+1)}dx$

Vamos fazer a decomposição por fracções parciais :

$\iff ~\dfrac{x^2+3x+1}{(x-3)(x+1)}~=~\dfrac{A_{1}}{x-3}+\dfrac{A_{2}}{x+1}$

Multipliquemos ambos membros pelo $x-3$

$\iff \dfrac{\cancel{(x-3)}(x^2+3x+1)}{\cancel {(x-3)}(x+1)}~=~A_{1}+(x-3)*\dfrac{A_{2}}{(x+1)}$

Vamos fazer $x~=~3$ :

$\iff ~ \dfrac{3^2+3*3+1}{3+1}~=~A_{1}+(3-3)*\dfrac{A_{2}}{3+1}$

$\iff ~ \dfrac{19}{4}~=~A_{1}$

Agora multipliquemos a igualdade inicial pelo $x+1$ :

$\iff \dfrac{\cancel{(x+1)}(x^2+3x+1)}{(x-3)\cancel {(x+1)}}~=~(x+1)*\dfrac{A_{1}}{(x-3)}+A_{2}$

Vamos fazer $x~=~-1$ :

$\iff ~\dfrac{(-1)^2+3*(-1)+1}{-1-3}~=~(-1+1)*\dfrac{A_{1}}{(-1-3)} + A_{2}$

$\iff ~\dfrac{(-1)}{(-4)}~=~A_{2}$

$\begin{cases} A_{1}~=~\dfrac{19}{4} \\ \\ A_{2}~=~\dfrac{1}{4} \end{cases}$

Reescrevendo a integral podemos ter :

$~~~~~~~=\displaystyle\int\left[\dfrac{19}{4(x-3)}+\dfrac{1}{4(x+1)}\right]dx$

$~~~~~~=\displaystyle\int\dfrac{19}{4(x-3)}dx+\displaystyle\int\dfrac{dx}{4(x+1)}$

$~~~~~~=\dfrac{19}{4}\displaystyle\int\dfrac{dx}{x-3}+\dfrac{1}{4}\displaystyle\int\dfrac{dx}{x+1}$

$~~~~~~=\dfrac{19}{4}\ln|x-3|+\dfrac{1}{4}\ln|x+1|+k~,~com~k\in\mathbb{R}~\longleftarrow~RESPOSTA$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE!)

UEM(MOZAMBIQUE) - DMI

Answer 2

• Resultado da integral

$\Large \boxed{\boxed{ \sf\dfrac{19}{4} ln | x - 3 | + \dfrac{1}{4} ln | x + 1 | + k }}$

• Com K € aos reais

Temos a Seguinte Integral indefinida:

$\Large \boxed{\boxed{\displaystyle\int \sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{x^{2} -2x-3} dx }}$

• Com o Teorema:

$\displaystyle \int \sf \dfrac{P(x)}{(x-\alpha)(x-\beta ) }= A \: In |x-\alpha |+B \: In|x-\beta |+k$

Vamos lá, Primeiramente temos que fatorar o Denominador, Veja Abaixo

$\displaystyle\int \sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{x^{2} -2x-3} dx = \displaystyle\int \sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x - 3).(x + 1)} dx$

Queremos encontar o valor de A e B, vamos a

começar a decompor a integral por frações parciais.

$\Large\sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x - 3).(x + 1)} = \dfrac{A}{(x - 3)} + \dfrac{B}{(x + 1)}$

• Primeiramente Multiplicamos o Denominador da fração A com os termos da integral e depois Multiplicamos com o Denominador da fração B

$\: \: \: \: \: \LARGE \boxed{ \begin{array}{} \\ \Large\sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x - 3).(x + 1)} = \dfrac{A}{(x - 3)} + \dfrac{B}{(x + 1)} \\ \\ \Large\sf \dfrac{(x - 3).x^{2}+3x+1}{(x - 3).(x + 1)} = \dfrac{A}{(x - 3).(x - 3)} + (x - 3).\dfrac{B}{(x + 1)} \\ \\ \Large\sf \dfrac{ \cancel{(x - 3)}.x^{2}+3x+1}{ \cancel{(x - 3)}.(x + 1)} = \dfrac{A}{ \cancel{(x - 3).(x - 3)}} + (x - 3). \dfrac{B}{(x + 1)} \\ \\ \Large\sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x + 1)} = A + (x - 3).\dfrac{B}{(x + 1)} \\ \: \end{array}}$

Temos x - 3, Logo x = 3, vamos substituir as Incógnitas x por 3

$\: \: \: \: \: \LARGE \boxed{ \begin{array}{} \\ \Large\sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x + 1)} = A + (x - 3).\dfrac{B}{(x + 1)} \\\\ \Large\sf \dfrac{3^{2}+3.3+1}{(3 + 1)} = A + (3 - 3).\dfrac{B}{(3 + 1)} \\\\\Large\sf \dfrac{3^{2}+10}{4} = A + 0.\dfrac{B}{(4)} \\\\ \Large\sf \dfrac{19}{4} = A \\\: \end{array}}$

• Achando valor de B:

$\: \: \: \: \: \LARGE \boxed{ \begin{array}{} \\ \Large\sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x - 3).(x + 1)} = \dfrac{A}{(x - 3)} + \dfrac{B}{(x + 1)} \\ \\ \Large\sf \dfrac{(x + 1).x^{2}+3x+1}{(x - 3).(x + 1)} = \dfrac{A}{(x - 3)} + \dfrac{B}{(x + 1).(x + 1)} \\ \\ \Large\sf \dfrac{ \cancel{(x + 1)}.x^{2}+3x+1}{(x - 3). \cancel{(x + 1)}} = \dfrac{A}{ x - 3} + \dfrac{B}{ \cancel{(x + 1) .(x + 1)}} \\ \\ \Large\sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x - 3)} = (x + 1).\dfrac{A}{x - 3} + B \\ \: \end{array}}$

Temos x + 1, Logo x = -1, vamos substituir as Incógnitas x por -1

$\: \: \: \: \: \LARGE \boxed{ \begin{array}{} \\ \Large\sf \dfrac{x^{2}+3x+1}{(x - 3)} = (x + 1).\dfrac{A}{x - 3} + B \\ \\ \Large\sf \dfrac{ (- 1)^{2}+3( - 1)+1}{( - 1- 3)} = ( - 1 + 1).\dfrac{A}{ - 1- 3} + B \\ \\ \Large\sf \dfrac{ 1 - 3+1}{ - 4} = 0.\dfrac{A}{ - 4} + B \\ \\ \Large\sf \dfrac{ 1 - 3+1}{ - 4} = + B \\ \\ \Large\sf \dfrac{ - 1}{ - 4} = B \\ \\ \Large\sf \dfrac{1}{ 4} = B \\\: \end{array}}$

Achamos o valor de A e B, vamos lá na nossa Integral indefinida e refaze-la, aplicando algumas manipulações Álgebricas. Veja Abaixo

$\LARGE \begin{array}{c} \\ \displaystyle\int \sf \Bigg( \frac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{x + 1} \Bigg)dx \\ \\\displaystyle\int \sf \Bigg( \frac{19}{4(x - 3)} + \dfrac{1}{4(x + 1)} \Bigg) dx \\ \\ \displaystyle\int \Bigg( \sf \dfrac{19}{4(x - 3)}\Bigg)dx + \displaystyle\int \Bigg(\sf \dfrac{1}{4(x + 1)}\Bigg)dx \\ \\ \dfrac{19}{4} \displaystyle\int \Bigg( \sf \dfrac{dx}{(x - 3)}\Bigg) + \dfrac{1}{4} \displaystyle\int \Bigg( \sf \dfrac{dx}{(x + 1)}\Bigg) \\\: \end{array}$

Aplicando Teorema - Resposta:

$\Large \boxed{\boxed{ \sf\dfrac{19}{4} ln | x - 3 | + \dfrac{1}{4} ln | x + 1 | + k }}$

$\Large\sf \: —————– LATEX ———–———–$

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$\Huge \boxed{ \boxed{ \mathbb{M}\sf{uri}\tt{lo}\bf{G\Delta}}}$