Question

Calcule o somatório da PG: (10, 5, ..., 5/64). Escolha uma resposta. a. 16/58 b. 97 c. 88 d. 5100/256

Answer 1

Resposta: Letra d

Explicação passo-a-passo:

O somatório da PG é encontrado a partir da seguinte fórmula:

$S_{n} = \frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$

Desta forma, como já temos o $a_{1}$ (que é 10), basta achar o q e o n-ésimo termo. O q pode ser facilmente deduzido observando a progressão (que vai sempre dividindo por 2), ou jogar na fórmula:

$q = \frac{a_{n}}{a_{n-1}}\\\\q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

O n-ésimo termo também pode ser mais rapidamente encontrado contando-se nos dedos: 10, 5, 5/2, 5/4, 5/8, 5/16, 5/32, 5/64. Isto é, é o 8º termo. Se preferir, pode usar a fórmula mesmo:

$a_{n} = a_{1}.q^{n-1}$

$\frac{5}{64} = 10.(\frac{1}{2})^{n-1}$

$\frac{1}{64} = 2.\frac{1}{2^{n-1}}$

$\frac{1}{128} = \frac{1}{2^{n-1}}$

$2^{7} = 2^{n-1}$

$n-1 = 7\\n = 8$

Agora, substituindo tudo na fórmula da soma da PG, temos:

$S_{8} = \frac{10((\frac{1}{2})^8-1)}{\frac{1}{2}-1}\\\\S_{8} = \frac{10(\frac{1}{256}-1)}{\frac{1}{2}-1}\\\\S_{8} = \frac{10(-\frac{255}{256})}{-\frac{1}{2}}\\\\S_{8} = \frac{2550}{256}.\frac{2}{1} = \frac{5100}{256}$

Entendeu?!

Qualquer dúvida, é só comentar!

Bons estudos.