Question

Calcule o seguinte limite: lim x→+∞
√x +√x + √x
________
x


Obs.: as raízes estão uma dentro da outra

Answer 1

$\sqrt{x+ \sqrt{x+ \sqrt{x} } }$ cresce assintóticamente mais devagar que o polinominal x do denominador então o liminte no infinito significa que o denominador é muito maior que o numerador então:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x+ \sqrt{x} } }}{x} = 0$

Outra forma de resolver é:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x+ \sqrt{x} } }}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x(1+ \frac{\sqrt{x}}{x})}}}{x}$

Porque: $\lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x}}{x} = 0$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x(1+ \frac{\sqrt{x}}{x})}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x+0}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x}}}{x}$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+ \sqrt{x}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x(1+ \frac{ \sqrt{x}}{x})} }{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x(1+0)}}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x(1+0)}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = 0$