Question

Calcule o seguinte limite.
Lim((2+h)³ - 8/h) h → 0

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que:

$\boxed{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(2 + h) {}^{3} - 8}{h} }$

Vamos substituir no local de "h" o valor a qual o h tende, para ver se surge uma indeterminação.

$\frac{(2 + h) {}^{3} - 8 }{h} \\ \\ \frac{(2 + 0) {}^{3} - 8}{0} \\ \\ \frac{(2) {}^{3} - 8}{0} \\ \\ \frac{8 - 8}{0} \\ \\ \frac{0}{0}$

Sim, surgiu uma indeterminação do tipo 0/0, então vamos ter que fazer alguma manipulação algébrica que faça com que a indeterminação suma.

Primeiramente vamos resolver aquele produto notável do numerador.

(2 + h)³

Esse produto, chama-se cubo da soma e possui o seguinte desenvolvimento:

(a + b)³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Vamos identificar o que é "a" e o que é "b" no nosso produto.

(2 + h)³ → a = 2 , b = h.

Substituindo na estrutura:

(2 + h)³ → 2³ + 3.2².h + 3.2.h² + h³

8 + 12h + 6h² + h³

Agora vamos substituir esse desenvolvimento no limite.

$\frac{ \cancel8 + 12h + 6h {}^{2} + h {}^{3} - \cancel 8 }{h} \\ \\ \frac{h {}^{3} + 6h {}^{2} + 12h}{h}$

Vamos colocar em evidência o termo "h".

$\frac{ \cancel h.(h {}^{2} + 6h + 12)}{ \cancel h} \\ ( h {}^{2} + 6h + 12)$

Agora vamos substituir o valor a qual "h" tende no local de "h".

$(0) {}^{2} + 6.0 + 12 = \boxed{12}$

Portanto, temos que:

$\boxed{\boxed{ \lim_{ h\rightarrow 0} \frac{(2 + h) {}^{3} - 8}{h} = 12}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️