Question

calcule o seguinte limite.

Answer 1

limx→∞ [(√x-2)-√2]/x


divide por x

limx→∞ {[(√x-2)-√2]/x}/x

limx→∞ [(√x-2)/x] - √2/x


lembrando que:

limx→a [f(x) ± g(x)]  =  limx→a f(x) ± limx→a g(x)


então:

limx→∞ (√x-2)/x - limx→∞√2/x   vamos chamar essa equação de (I)


agora analisando cada pedaço a parte:

*limx→∞ (√x-2)/x  multiplica pelo conjugado (√x-2)/(√x-2)

limx→∞ (√x-2).(√x-2)/x.(√x-2)

limx→∞ (x-2)/[x.(√x-2)]


divida pelo maior denominador:

limx→∞ [(x/x) - (2/x)] / { x . [√x - 2] /x }

limx→∞ [1 - (2/x)] / (√x - 2)


Lembrando que:

limx→a [f(x) ] / [ g(x) ] = [ limx→a f(x) ] / [ limx→a g(x) ]; e que limx→a g(x)≠0

Então:

[ limx→∞ 1 - (2/x) ] / [ limx→∞ (√x - 2) ];   vamos chamar esse de (II)


Analisando cada limite de (II):

*[ limx→∞ 1 - (2/x)]

novamente aplicando 

limx→a [f(x) ± g(x)]  =  limx→a f(x) ± limx→a g(x)
 
limx→∞ 1 - limx→∞ (2/x)

1 - 0 ===> 1

calculando a parte de baixo de (II)

*[ limx→∞ (√x - 2) ]

Lembrando que:

limx→a [ f(x) ]^b = [ limx→a f(x) ]^b

Logo:

√(limx→∞ x - 2)

Aplicando a Propriedade do Infinito:

limx→∞ (ax^n + ... + bx + c ) = ∞  , a > 0, n é ímpar

a = 1, n = 1

então:

limx→∞ √∞  ==> ∞

Jogando os valores encontrados na equação (II)

1/∞

0


Agora analisando o limite restante de (I):

limx→∞√2/x 

aplicando a propriedade do infinito:

limx→∞ c/(x^a) = 0 

Logo: 

limx→∞√2/x  = 0


Jogando os valores encontrados em (I), temos:

0 - 0 

= 0

Resposta: 0

Answer 2

$\dfrac{1}{2\sqrt{2} }$

Explicação passo-a-passo:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+2} -\sqrt{2}}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+2} -\sqrt{2}(\sqrt{x+2} -\sqrt{2})}{x(\sqrt{x+2} -\sqrt{2})}=\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+2})^2 -(\sqrt{2})^2}{x(\sqrt{x+2} -\sqrt{2})}=$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+2} -\sqrt{2})}=\lim_{x \to 0} \frac{1}{(\sqrt{x+2} -\sqrt{2})}=\frac{1}{2\sqrt{2} }$