Question

calcule o resto da divisão por 6 da expressão 371^34

Answer 1

Para a resposta desta tarefa, será usado congruência modular:

Efetuando a divisão euclidiana de  371  por  6  obtemos um resultado que nos será útil:

     371 = 366 + 5

     371 = 6 · 61 + 5


Como só falta  1  unidade para chegarmos ao próximo múltiplo de  6,  vamos reescrever  5  como  6 − 1:

     371 = 6 · 61 + 6 − 1

     371 = 6 · (61 + 1) − 1

     371 = 6 · 62 − 1


Logo, podemos escrever que

     $\mathsf{371\equiv (-1)\quad(mod~6)}$


Eleve os dois lados a  34:

     $\mathsf{371^{34}\equiv (-1)^{34}\quad(mod~6)}$


Como  34  é par,  o resultado da potência do lado direito é  1  positivo:

     $\mathsf{371^{34}\equiv 1\quad(mod~6)}$


ou seja,  existe um  q  natural,  de modo que

     $\mathsf{371^{34}-1=6q}\\\\ \mathsf{371^{34}=6q+1}$


Como  0 ≤ 1 < 6,  então o resto da divisão de  $\mathsf{371^{34}}$  por  6  é  1.


Resposta:  1.


Bons estudos! :-)