Question

Calcule o resto da divisão do número 80³°°¹ por 9.

Answer 1

Resposta: O resto da divisão é 8.

Explicação passo a passo:

Calcular o resto da divisão de $80^{3001}$ por 9.

     $80=8\cdot 9+8\\\\ \Longrightarrow\quad 80\equiv 8\quad\mathrm{(mod~9)}\qquad\mathrm{(i)}$

Elevando os dois lados da congruência ao quadrado, temos

     $\Longrightarrow\quad 80^2\equiv 8^2\quad\mathrm{(mod~9)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 80^2\equiv 64\quad\mathrm{(mod~9)}$

E como $64=9\cdot 7+1,$ temos

     $\Longleftrightarrow\quad 80^2\equiv 1\quad\mathrm{(mod~9)}$

Elevando os dois lados a um natural n qualquer, temos

     $\Longleftrightarrow\quad (80^2)^n\equiv 1^n\quad\mathrm{(mod~9)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 80^{2n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~9)}\qquad\mathrm{(ii)}$

Logo, 80 elevado a qualquer natural par deixa resto 1 na divisão por 9.

Mas, $3001$ é ímpar, logo, podemos escrever

     $3001=2m+1,\qquad\mathrm{para~algum~}m\in\mathbb{N}.$

Portanto,

     $\Longrightarrow\quad 80^{3001}=80^{2m+1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 80^{3001}=80^{2m}\cdot 80^1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 80^{3001}=80^{2m}\cdot 80$

e por (i) e (ii), segue que

     $\Longrightarrow\quad 80^{3001}\equiv 80^{2m}\cdot 80\quad\mathrm{(mod~9)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 80^{3001}\equiv 1\cdot 8\quad\mathrm{(mod~9)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 80^{3001}\equiv 8\quad\mathrm{(mod~9)}$

O resto da divisão é 8.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!