Question

Calcule o resto da divisão de 1^2007+2^2007+3^2007...+2006^2007+2007^2007 por 5

Answer 1

Seja $\psi=1^{2~007}+2^{2~007}+3^{2~007}+\dots+2~006^{2~007}+2~007^{2~007}$

 

Observe que:

$1^{2~007}\equiv1\pmod{5}$

$2^{2~007}\equiv3\pmod{5}$

$3^{2~007}\equiv2\pmod{5}$

$4^{2~007}\equiv4\pmod{5}$

$5^{2~007}\equiv0\pmod{5}$

$6^{2~007}\equiv1\pmod{5}$

Desta maneira, há um padrão, formado por $5$ números.

Desse modo, esta sequência: $1, 3, 2, 4, 0$, repete-se $401$ vezes, uma vez que $2~007=5\times401+2$ e, a soma dos números deste padrão é $1+3+2+4+0=10$.

Logo, podemos afirmar que:

$\psi\equiv1^{2~007}+2^{2~007}+\dots+2~007^{2~007}\equiv401\times10+1+3\equiv4~014\equiv4\pmod{5}$

E, portanto, o resto da divisão de $\psi$ por $5$ é $4$.