Question

Calcule o residuo do número $2005^{2007^{2009}}$ por 7.​

Answer 1

Resposta:   O resto da divisão é 6.

Explicação passo a passo:

Calcular o resto da divisão de $2005^{(2007^{2009})}$ por 7.

     $2005=286\cdot 7+3\\\\ \Longrightarrow\quad 2005\equiv 3\quad\mathrm{(mod~7)}\qquad\mathrm{(i)}$

Como 7 é primo, e 7 não divide 2005, pelo Pequeno Teorema de Fermat, segue que

     $\Longrightarrow\quad 2005^{7-1}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~7)}\\\\\ \Longrightarrow\quad 2005^6\equiv 1\quad\mathrm{(mod~7)}$

Elevando ambos os lados da congruência a um número natural n qualquer, temos

     $\Longrightarrow\quad 2005^{6n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~7)}\qquad\mathrm{(ii)}$

Como 2005 elevado a qualquer múltiplo de 6 deixa resto 1 na divisão por 7, então nos interessa encontrar qual o resto da divisão do expoente $2007^{2009}$ por 6.

     $2007=334\cdot 6+3\\\\ \Longrightarrow\quad 2007\equiv 3\quad\mathrm{(mod~6)}$

No entanto, qualquer potência de 3 deixa resto 3 na divisão por 6. Elevando os dois lados da congruência acima a um natural n não-nulo, temos

     $\Longrightarrow\quad 2007^n\equiv 3^n\equiv 3\quad\mathrm{(mod~6)}\\\\ \Longrightarrow\quad 2007^n\equiv 3\quad\mathrm{(mod~6)}$

para todo n natural não-nulo. Em particular,

     $\Longrightarrow\quad 2007^{2009}\equiv 3\quad\mathrm{(mod~6)}\qquad\mathrm{(iii)}$

Logo, podemos escrever

     $2007^{2009}=6m+3$

para algum m natural.

Disso, segue que

     $2005^{(2007^{2009})}=2005^{6m+3}=2005^{6m}\cdot 2005^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2005^{(2007^{2009})}\equiv 2005^{6m}\cdot 2005^3\quad\mathrm{(mod~7)}$

e por (i) e (ii), segue que

     $\Longrightarrow\quad 2005^{(2007^{2009})}\equiv 1\cdot 2005^3\quad\mathrm{(mod~7)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2005^{(2007^{2009})}\equiv 1\cdot 3^3\quad\mathrm{(mod~7)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2005^{(2007^{2009})}\equiv 27\equiv 6\quad\mathrm{(mod~7)}$

Logo, o resto da divisão é 6.

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Bons estudos! :-)