Question

calcule o quinto termo no desenvolvimento de (a + 2b)elevado a 8

Answer 1

Seja o binômio 
(A + B)^n 
Termo geral 
Tp+1 = (n p) . (A ^n-p) . (B ^p) 

Onde: 
"p+1" corresponde ao termo que pretende-se determinar. 
Exemplo: 10º termo (T10), então 
p + 1 = 10 
p = 10 - 1 
p = 9 
"(n p)" é o número binomial, corresponde a 
(n p) = n! / (n-p!).(p!) 
"A" e "B" são os elementos do binômio 

1) pretende-se achar o sexto termo em (x - 2.a)^10 

n = 10 
1ºtermo do binômio = x 
2ºtermo do binômio = -2.a 
Sexto termo (T6)... 
p + 1 = 6 → p = 6 - 1 = 5 

Aplicando a fórmula do termo geral... 
Tp+1 = (n p) . (A ^n-p) . (B ^p) 
T5+1 = (10 5) . ( (x)^10-5 ) . ( (-2.a)^5 ) 
fazendo separadamente... 
(10 5) = 10! / ( 10-5 !).(5!) 
(10 5) = 10.9.8.7.6.5! / (5!).(5.4.3.2.1) 
(10 5) = 252 
substituindo... 
T6 = (252) . ( x^5 ) . ( -32.a^5 ) 
ou T6 = -8064.(x.a)^5 

2) O que está sendo pedido basicamente é o 7º termo em (2.x + 1)^9 

** Em particular, o binômio "(2.x + 1)^9" é fácil de deduzir o que está sendo pedido, o único x que aparece é "2.x" então os expoentes de "x" neste desenvolvimento terão 9, 8, 7, 6, 5... Se você tivesse algo parecido com "(x + 1/x)^10", não poderia usar a mesma lógica. 

n = 9 
1ºtermo do binômio = 2.x 
2ºtermo do binômio = 1 
Sétimo termo (T7)... 
p + 1 = 7 → p = 7 - 1 = 6 

Aplicando a fórmula do termo geral... 
Tp+1 = (n p) . (A ^n-p) . (B ^p) 
T6+1 = (9 6) . ( (2.x)^9-6 ) . ( (1)^6 ) 
fazendo separadamente... 
(9 6) = 9! / ( 9-6 !).(6!) 
(9 6) = 9.8.7.6! / ( 3!).(6!) 
(9 6) = 9.8.7.6! / (3.2.1).(6!) 
(9 6) = 84 
substituindo... 
T7 = (84) . ( (2.x)^3 ) . ( (1) ) 
T7 = 672.(x^3) 

3) **Sobre o termo independente** 
Em questões envolvendo binômio de Newton, será pedido que determine o "termo independente", que poderá ser "x", "y" ou qualquer outra letra... 
Quando falamos em "termo independente" num desenvolvimento de um binômio estamos nos referindo ao termo que "não tem" determinado elemento (é "livre" dele), isso só pode ocorrer quando este termo tenha este elemento elevado a zero. 
Exemplo: 
(x + y)^3 o termo independente de "x" é "y^3" que é o resultado de: 
T4 = (3 3) . (x ^3-3) . (y^3) 
T4 = 1 . (x^0) . (y^3) 
T4 = 1 . 1 . y^3 
T