Question

Calcule o posto da matriz ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

O posto de uma matriz é igual ao número de linhas não nulas quando a escrevemos na forma escada.

Dizemos que uma matriz está na forma escada se:

1) Toda linha nula está abaixo de toda linha não nula.

2) O primeiro elemento não nulo de toda linha não nula (pivô) é igual a 1.

3) Se uma coluna tem um pivô, então todos os outros elementos dessa coluna são iguais a 0.

4) Se as linhas i e j têm pivôs, com i < j, então o pivô da linha j está à direita do pivô da linha i.

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 2 & \sf 7 & \sf 9 & \sf -1 \\ \sf 1 & \sf 1 & \sf 0 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 9 & \sf -3 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{L_2-\frac{1}{2}\cdot L_1~\Rightarrow~L_2}~\Big[\begin{array}{cccc} \sf 2 & \sf 7 & \sf 9 & \sf -1 \\ \sf 0 & \sf \frac{-5}{2} & \sf \frac{-9}{2} & \sf \frac{3}{2} \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 9 & \sf -3 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 2 & \sf 7 & \sf 9 & \sf -1 \\ \sf 0 & \sf \frac{-5}{2} & \sf \frac{-9}{2} & \sf \frac{3}{2} \\ \sf 0 & \sf 5 & \sf 9 & \sf -3 \end{array}\Big]~~\begin{cases} \sf \frac{1}{2}\cdot L_1~\Rightarrow~L_1 \\ \sf \frac{-2}{5}\cdot L_2~\Rightarrow~L_2 \\ \sf \frac{1}{5}\cdot L_3~\Rightarrow~L_3 \end{cases}~\Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf \frac{7}{2} & \sf \frac{9}{2} & \sf \frac{-1}{2} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{9}{5} & \sf \frac{-3}{5} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{9}{5} & \sf \frac{-3}{5} \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf \frac{7}{2} & \sf \frac{9}{2} & \sf \frac{-1}{2} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{9}{5} & \sf \frac{-3}{5} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{9}{5} & \sf \frac{-3}{5} \end{array}\Big]~\begin{cases} \sf L_2-L_3~\Rightarrow~L_2 \\ \sf L_3-L_2~\Rightarrow~L_3 \end{cases}~\Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf \frac{7}{2} & \sf \frac{9}{2} & \sf \frac{-1}{2} \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 0 \end{array}\Big]$

Essa matriz possui 1 linha não nula, logo seu posto é 1