Question

Calcule o perímetro e a área de um triângulo isósceles cuja a base mede 40cm e os ângulos da base medem 30º

Answer 1

Para calcular o perímetro precisamos descobrir o valor dos outros dois lados (iguais,por sinal, pois os triângulo é isósceles).

Para descobrir a área, precisamos do valor da altura h, para que possamos usar a fórmula:

Área = ( Base x Altura ) / 2

Para encontrar o valor da altura, vamos usar a trigonometria.

Usaremos a relação tangente, pois a altura é o cateto oposto ao ângulo de 30° e metade da base que vale 20 cm, é o valor do cateto adjacente. Assim:

$Tg30 = \frac{h}{20}$

Lembre-se de que

$Tg30 = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Assim,

$Tg30 = \frac{h}{20} \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{20} \\ \\ 3h=20\sqrt{3} \\ \\ h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$

Já podemos calcular a área:

$A = \frac{\frac{20\sqrt{3}}{3}.40}{2} \\ \\ A = \frac{\frac{800\sqrt{3}}{3}}{2} \\ \\ A = \frac{800\sqrt{3}}{6} \\ \\ \boxed{\boxed{A = \frac{400\sqrt{3}}{3} }}$

Agora vamos para o perímetro:

Precisamos encontrar o valor do lado L.

Para isso vamos usar a relação cosseno: cateto adjacente que vale 20 cm, sobre hipotenusa que vale L, assim:

$cos30 = \frac{20}{L} \\ \\ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20}{L} \\ \\ L\sqrt{3}=40 \\ \\ L=\frac{40}{\sqrt{3}} \\ \\ L=\frac{40}{\sqrt{3}} .\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ \\ L = \frac{40\sqrt{3}}{3}$

O perímetro será a soma dos 3 lados:

$P = L +L+40 \\ \\ P = \frac{40\sqrt{3}}{3} +\frac{40\sqrt{3}}{3} +40 \\ \\ P = \frac{80\sqrt{3}}{3} +40 \\ \\ P = \frac{80\sqrt{3}+120}{3} \\ \\ \boxed{\boxed{P = \frac{40(2\sqrt{3}+3)}{3} }}$

Answer 2

Para calcular a área de um triângulo isóscele que não tem a informação da altura, é necessário dividí-lo ao meio transformando-o em dois triângulos retângulos. Após fazer isso você perceberá que a altura do seu triângulo isóscele é igual ao cateto do triângulo retângulo (formado após a divisão do triângulo isóscele ao meio). Se você tivesse, nesse caso, o valor da hipotenusa (lado do triângulo isóscele) você poderia aplicar o Teorema de Pitágoras e, assim, descobrir o valor do cateto (altura do triângulo isóscele). Mas como só temos o valor de 1 lado ( a base do triângulo isóscele dividido por 2 (40⁄2) ), usaremos a LEI DOS SENOS para descobrir a altura e a usaremos novamente para descobrir o valor do lado do triângulo isóscele.

➩ Encontrando a altura

20/sen60° = X/sen30°

20/√3/2 = X/ 1⁄2

X√3/2 = 20⁄2

X√3/2 = 10

X√3 = 20

X = 20/√3

X = 20√3/3cm

➩ Encontrando o valor do lado do triângulo isóscele.

20/sen60° = Y/sen90°

20/√3/2 = Y/1

Y√3/2 = 20

Y√3 = 40

Y = 40/√3

Y = 40√3/3cm

➩ Encontrando o perímetro do triângulo isóscele.

2P = 2(40√3/3) + 40
2P = 80√3/3 + 40cm

➩ Encontrando o valor da área do triângulo isóscele

A = b × h × 1⁄2
A = 40 × 20√3/3 × 1⁄2
A = 800√3/3 × 1⁄2
A = 800√3/6
A = 400√3/3cm²