Question

Calcule o perímetro do triângulo formado pela reta r: 3x - 4y + 10 = 0 com as bissetrizes dos quadrantes.

Answer 1

O perímetro do triângulo formado pela reta r: 3x - 4y + 10 = 0 com as bissetrizes dos quadrantes é 100/7 + 80√2/7.

Vale lembrar que as bissetrizes dos quadrantes coincidem com as retas y = x e y = -x.

O ponto de interseção entre as retas y = x e y = -x é a origem do plano cartesiano, ou seja, O = (0,0).

A interseção entre as retas y = x e 3x - 4y + 10 = 0 é:

3x - 4x + 10 = 0

-x = -10

x = 10 ∴ y = 10 → o ponto de interseção é A = (10,10).

A interseção entre as retas y = -x e 3x - 4y + 10 = 0 é:

3x - 4(-x) + 10 = 0

3x + 4x + 10 = 0

7x = -10

x = -10/7 ∴ y = 10/7 → o ponto de interseção é B = (-10/7,10/7).

Agora, vamos calcular as distâncias entre O e A, O e B, A e B.

Distância entre O e A

d² = (10 - 0)² + (10 - 0)²

d² = 10² + 10²

d² = 2.10²

d = 10√2.

Distância entre O e B

d² = (-10/7 - 0)² + (10/7 - 0)²

d² = 100/49 + 100/49

d² = 2.100/49

d = 10√2/7.

Distância entre A e B

d² =  (-10/7 - 10)² + (10/7 - 10)²

d² = (-80/7)² + (60/7)²

d² = 6400/49 + 3600/49

d² = 10000/49

d = 100/7.

Portanto, o perímetro do triângulo é:

2P = 100/7 + 10√2/7 + 10√2

2P = 100/7 + 80√2/7.