Question

Calcule o limite usando a regra de l'hospital:
lim x*e^1/x
x ->0+

Answer 1

$L=\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,x\cdot e^{1/x}$


Temos uma indeterminação do tipo $0\cdot \infty,$ e não podemos aplicar a Regra de L'Hôpital diretamente ao limite acima. Devemos reescrever a função na forma de um quociente:

$L=\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{e^{1/x}}{\frac{1}{x}}$


Agora, chegamos a uma indeterminação do tipo $0/0,$ e portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital:

Se o limite $\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\frac{d}{dx}(e^{1/x})}{\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}$ existir (finito ou infinito), então

$L=\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\frac{d}{dx}(e^{1/x})}{\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}$


$\bullet\;\;$ Verificando a existência do limite:

$\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\frac{d}{dx}(e^{1/x})}{\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{e^{1/x}\cdot \frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}{\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})}\\ \\ \\ =\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,e^{1/x}\\ \\ =+\infty$


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$L=\underset{x\to 0^{+}}{\mathrm{\ell im}}\,x\cdot e^{1/x}=+\infty$