Question

Calcule o limite

$\lim_{x \to \ 0} \frac{1-cos(3x)}{ x^{2} }$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução é mais ou menos simples.

i) Pede-se para encontrar o limite, quando "x" tende a "0" da seguinte função:

f(x) = [1-cos(3x)]/x²
x-->0


ii) Veja: se formos substituir o "x" por "0", iremos encontrar algo como "0/0", o que é uma indeterminação. Então deveremos procurar levantar essa indeterminação.

iii) Uma das formas é encontrar, de forma independente, a derivada do numerador e a derivada do denominador e, depois disso, substituir o "x" por "0". Se a indeterminação ainda persistir, então faz-se novamente a derivada (também de forma independente) até que tenhamos levantado a indeterminação.

iv) Então vamos aplicar a primeira derivada no numerador e no denominador, de forma independente:

iv.1) Primeira derivada do numerador

1 - cos(3x) = 3sen(3x) <--- Esta é a 1ª derivada do numerador.

e primeira derivada do denominador:

x² = 2x. <-- Esta é a primeira derivada do denominador.

Note que se agora utilizarmos a expressão: 3sen(3x)/2x e substituirmos o "x" por "0" ainda vai persistir a indeterminação "0/0".

iv.2) Então vamos encontrar a segunda derivada do numerador e do denominador (sempre de forma independente):

- Segunda derivada do numerador:

 3sen(3x) = 9cos(3x) <--- Esta é a segunda derivada do numerador.

- Segunda derivada do denominador:

2x = 2 <--- Esta é a segunda derivada do denominador.

v) Agora veja que já poderemos substituir o "x" por "0" e não vamos mais encontrar nenhuma indeterminação, pois ao calcularmos a segunda derivada do numerador e do denominador, a função ficou assim:

lim f(x) = 9cos(3x) / 2
x-->0

Substituindo-se o x" por "0", teremos:

9*cos(3*0) / 2 = 9cos(0) / 2 ----- como cos(0) = 1, teremos:

9*1 / 2 = 9/2 <---- Este é o limite procurado, o que você poderá expressar da seguinte forma:

lim f(x) = [1-cos(3x)]/x² = 9/2 <--- Esta é a resposta.
x--> 0

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.