Question

Calcule o limite se existir

Lim (sqrt(x) - x^2)/(1- sqrt(x))
x-> 1

Answer 1

O limite existe e vale 3.

• Com L'Hopital

Quando ocorre uma indeterminação do tipo 0/0 ao se calcular o limite, pode-se aplicar a regra de L'Hopital que diz que o cálculo do limite da derivada do numerador dividido pela derivada do denominador é igual ao limite original.

$\mathsf{\displaystyle{\lim_{x \to 1}\dfrac{(\sqrt{x})'-(x^2)'}{(1)'-(\sqrt{x})'} = \lim_{x \to 1}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}-2x }{-\frac{1}{2\sqrt{x}} } = \dfrac{\frac{1}{2}-2}{-\frac{1}{2} } = \boxed{3} }}$

• Sem L'Hopital

Caso a questão restrinja o uso dessa regra prática, então temos que utilizar artifícios matemáticos de modo a retirar as indeterminações do limite. Observe que nesse caso, a única indeterminação é a divisão por 0.

Seja √x = t, então se x → 1, t → 1. Assim,

$\mathsf{\displaystyle{ \lim_{t \to 1} \dfrac{t - t^4}{1 - t} = \lim_{x \to 1}\frac{t.(1-t^3)}{(1-t)} =}}\\\\\\\mathsf{\displaystyle{ \lim_{x\to1} \dfrac{t.(1-t).(1^2 + t + t^2)}{(1-t)} }}\\\\\\\mathsf{\displaystyle{\lim_{x \to 1}t.(1 + t + t^2) = 1.(1+1+1) = \boxed{3}}}}}$

Answer 2

Resposta :   3

A ideia inicial é transformar o denominador (1 - √x) em ( 1 - x) para isso vamos utilizar seguinte produto notável:

a² - b² = (a+b) (a-b)

(1)² -  (√x)² = (1 + √x) (1-√x)

1    -    x =   (1 + √x) (1  - √x)

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Resolvendo:

$\lim_{x \to 1} \frac{( \sqrt{x} - x^{2} )}{(1-\sqrt{x}) } \frac{(1 + \sqrt{x}) }{(1+\sqrt{x}) } = \lim_{x \to 1} \frac{( \sqrt{x} - x^{2} ) (1+\sqrt{x} ) }{1-x}$

1.   A partir de agora vamos trabalhar somente com o numerador:

$(\sqrt{x} - x^{2} ) (1+\sqrt{x} ) \\\sqrt{x} + x - x^{2} - x^{2}\sqrt{x}$

1.1 Vamos somar ( - x²√x)  com  (√x) :

(1 - x²) √x   + x - x²

1.2  Agora vamos colocar x em evidência nas expressões x e x²

(1 - x²) √x   +   x ( 1 - x)

1.3 Agora vamos desenvolver (1 - x²) porque é um produto notável a² - b² =(a+b) (a-b):

(1  +x) (1-x) √x + x (1-x)

1.4 Agora vamos colocar (1-x) em evidência:

(1 - x) (  (1+x) √x   + x)  )

2 . Agora vamos resolver o limite:

$\lim_{x \to 1} \frac{(1-x)( (1+x)\sqrt{x} +x ) }{(1-x)} = \lim_{x \to 1}(1+x)\sqrt{x} + x = 3$