Question

Calcule o limite, demonstre o passo a passo:

Answer 1

Resposta:

+∞

Explicação passo-a-passo:

(x-2)/2x = v

x = -2/(2v-1)

x = 2/(1-2v)

Em (x-2)/2x = v, quando x tender para +inf, v vai tender para zero. Logo o limite dado pode ser escrito assim:

lim[2/(1-2v)]/tgπv =

v ---> 0

lim2/[(1-2v)tgπv] =

v ---> 0

lim2πv/[(1-2v)πvtgπv] =

v ---> 0

Lembrando que lim (tg v)/v = 1, quando x --> 0, podemos escrever:

lim 2 . 1/[(1-2v)πv] =

v ---> 0

2/+inf = +inf

Answer 2

Resposta: O limite de $\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}$, com x tendendo a $+\infty$ é $\pi$, ou seja, $\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\pi$.

Explicação passo-a-passo:

Perceba que ao fazer  x tender a $+\infty$ no numerador e denominador da fração, obteremos o seguinte quociente indeterminado  $\frac{+\infty}{+\infty}$. Logo, aplicaremos a Regra de L'Hôpital para resolvê-lo. Aplicando, ficaremos com:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}= \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{'}}{(tg(\pi(\frac{x-2}{2x})))^{'}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}= \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{sec^{2}(\pi(\frac{x-2}{2x}))\cdot \pi \cdot (\frac{x-2}{2x})^{'}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}= \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{sec^{2}(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))\cdot \frac{\pi}{2} \cdot (\frac{x-2}{x})^{'}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{sec^{2}(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))\cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{x^{2}}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{sec^{2}(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))\cdot \frac{\pi}{x^{2}}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{sec^{2}(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))}\cdot \frac{1}{\frac{\pi}{x^2}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}= \lim_{x \to +\infty} cos^{2}(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))\cdot \frac{1}{\frac{\pi}{x^2}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}= \lim_{x \to +\infty}\frac{cos^{2}(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))}{\frac{\pi}{x^2}}^{*}$

Em *, fazendo a variável x crescer indefinidamente em ambos os termos da fração, temos o quociente $\frac{0}{0}$, que por sua vez também é indeterminado. Aplicando L'Hôpital novamente, obtém-se:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{(cos^{2}(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x})))^{'}}{(\frac{\pi}{x^2})^{'}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-2cos(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))\cdot sen(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x})) \frac{\pi}{2}\cdot (\frac{x-2}{x}){'}}{-2 \pi x^{-3}}$ ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-2sen(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x}))\cdot cos(\frac{\pi}{2}(\frac{x-2}{x})) \frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{x^{2}}}{\frac{-2 \pi}{ x^{3}}}\cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}^{**}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-sen(\pi(\frac{x-2}{x}))}{\frac{-2}{x}}\cdot \frac{-1}{-1}^{***}$  ⇒

Em ***, após proceder de modo análogo a *, figura-se novamente o quociente indeterminado $\frac{0}{0}$. Com isso aplicaremos a Regra de L'Hôpital pela última vez. Logo:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{(sen(\pi(\frac{x-2}{x})))^{'}}{(\frac{2}{x})^{'}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}\frac{cos(\pi(\frac{x-2}{x}))\cdot \pi\cdot \frac{2}{x^{2}}}{\frac{-2}{x^{2}}}\cdot \frac{\frac{x^{2}}{2}}{\frac{x^{2}}{2}}$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty}(-\pi\cdot cos(\pi(\frac{x-2}{x})))$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}= \lim_{x \to +\infty}(-\pi)\cdot \lim_{x \to +\infty}cos(\pi(\frac{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}))$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}= \lim_{x \to +\infty} (-\pi)\cdot \lim_{x \to +\infty}(cos(\pi))$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\lim_{x \to +\infty} (-\pi)\cdot \lim_{x \to +\infty}(-1)$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=(-\pi)\cdot (-1)$  ⇒

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x}{tg(\pi(\frac{x-2}{2x}))}=\pi$

Que é a resposta desejada.

Perceba que em ** foi utilizada a seguinte identidade trigonométrica notável: $sen(2x)=2sen(x)cos(x)$.

Abraços!