Question

Calcule o limite de (estão na foto)​

Answer 1

Para calcular esses limites vamos usar os seguintes resultados:

( 1 ) O limite fundamental do seno:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sin x }{x} = 1$

Note que esse limite implica o dos cossenos (vou deixar o link dessa no final):

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac 12$

( 2 ) A fatoração da diferença de cubos:

x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²)

( 3 ) As fórmulas de adição para o seno e cosseno:

sen(x+y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x)

cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)

além é claro da identidade trigonométrica sen²x + cos²x = 1.

( 4 ) As fórmulas de transformação de soma em produto (também conhecidas como fórmulas de prostaférese) também são úteis:

$\sin x + \sin y = 2 \sin\left( \dfrac{x+y} 2\right) \cos \left(\dfrac {x-y}2\right) \\[2ex]\cos x+ \cos y = 2 \cos \left( \dfrac{x+y} 2\right) \cos \left(\dfrac {x-y}2\right) \\[2ex]$

$\sin x - \sin y = 2 \cos\left( \dfrac{x+y} 2\right) \sin\left(\dfrac {x-y}2\right) \\[2ex]\cos x- \cos y =- 2 \sin \left( \dfrac{x+y} 2\right) \sin \left(\dfrac {x-y}2\right)$

( 5 ) Por fim, usaremos também que o produto dos limites é o limite do produto:

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle \lim_{x \to a} \, f(x) = M \\[1.5ex] \displaystyle \lim_{x \to a} \, g(x) = N \end{cases} \implies \lim_{x \to a} \,f(x)g(x) = MN$

P.171

Queremos calcular

$\displaystyle L = \lim_{x \to 0} \, \dfrac{1 - \cos^3x}{\,x\, \sin x \cos x\,}$

que é uma indeterminação do tipo 0/0. A ideia é reescrever a expressão de forma a explicitar os limites fundamentais e removê-la. Começamos usando ( 3 ) e  fatorando  o numerador:

1 - cos³x = (1 - cos(x))(1 + cos(x) + cos²(x))

Observe que 1 + cos(x) + cos²(x) tende a 3. Isso quer dizer que esse termo não oferecerá dificuldades. E o outro fator aparece em ( 1 ). Então agora substituímos e agrupamos convenientemente os termos:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac { (1 - \cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)}{ x \, \sin x \cos x} \\[2ex] \phantom{L} = \lim_{x \to 0} \, \left[\dfrac {1- \cos x}{x^2} \cdot \dfrac{x}{\sin x} \cdot (1 + \cos x + \cos^2 x)\right]$

Assim apareceram os limites fundamentais de ( 1 ). Agora é só usá-los juntamente com a propriedade ( 5 ) para concluir:$L = \displaystyle \left( \lim_{x \to 0}\, \dfrac{ 1 - \cos x}{x^2} \right) \left( \lim_{x \to 0} \, \dfrac x{\sin x} \right) \left( \lim_{x \to 0} \, 1 + \cos x + \cos^2 x \right) \implies \boxed{ L = \dfrac 32}$

P.182

Queremos calcular

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac {\sin(a+2x) - 2 \sin(a+x) + \sin a}{x^2}$

Novamente temos uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos expandir o denominador usando as fórmulas de adição ( 3 ) e ver o que acontece. Temos:

sen(a+x) = sen(a)cos(x) + sen(x)cos(a)

sen(a+2x) = sen(a)cos(2x) + sen(2x)cos(a)

Como cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) e sen(2x) = 2sen(x)cos(x), temos

sen(a+2x) = sen(a)cos²(x) - sen(a)sen²(x) + 2cos(a)sen(x)cos(x)

Agora vamos reorganizar o numerador:

sen(a+2x) - 2sen(a+x) + sen(a) =

[sen(a)cos²(x) - sen(a)sen²(x) + 2cos(a)sen(x)cos(x)] -2[sen(a)cos(x) + sen(x)cos(a)] + sen(a)

Isso dá pra fatorar:

sen(a+2x) - 2sen(a+x) + sen(a) = 2(cos(x)-1)(sen(a)cos(x)+sen(x)cos(a))

Daí o limite fica

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, 2 \cdot \dfrac{\cos x - 1}{x^2} \cdot (\sin a \cos x + \sin x \cos a)$

Observe que o fator da direita tende a sen(a) e o do meio tende a  -1/2 (usando ( 1 )). Logo, por ( 5 ) concluímos que L = - sen(a)

Outra maneira:

Usando as fórmulas de prostaférese ( 4 ) podemos escrever:

sen(a+2x) -  sen(a+x) = 2cos(a + 3x/2) sen(x/2)

sen(a) - sen(a+x) = -2cos(a + x/2)sen(x/2)

Logo o numerador é

2sen(x/2) [ cos(a + 3x/2) - cos(a + x/2) ]

Usando novamente as fórmulas de transformação ( 4 ) temos

cos( a + 3x/2) - cos(a + x/2) = -2sen(a+x)sen(x/2)

Logo o limite fica:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0}\, -\left ( \dfrac {\sin\left( \frac x2 \right)}{\frac x2}\right)^2\cdot \sin(a+x) \implies \boxed{ L =- \sin a}$

P.183

O limite é

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\cos(a+2x) - 2 \cos(a+x) + \cos a}{x^2}$

Esse pode ser feito exatamente da mesma forma que o anterior, e encontraremos a resposta -cos(a).

Outra maneira:

Essa questão é muito semelhante a anterior. De fato, podemos resolvê-la utilizando o resultado do outro problema. Para ver isso, observe que

cos(x) = - sen( x - π/2)

Ou seja, chamando a - π/2 de b fica:

cos(a) = -sen(a - π/2) = -sen(b)

cos(a+x) = - sen(a+x - π/2) = -sen(b+x)

cos(a+2x) = - sen(a+2x - π/2) = -sen(b+2x)

Assim, o limite fica:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, - \dfrac{\sin(b+2x) - 2\sin (b+x) + \sin b}{x^2}$

Pela questão anterior devemos ter L = +sen(b) = sen(a - π/2) = - cos(a)

Respostas:

P.171  3/2

P.182 -sen(a)

P.183 -cos(a)

Aqui está o link para a questão sobre o limite fundamental que falei no começo:

https://brainly.com.br/tarefa/25825391