Question

Calcule o limite de (está na foto)​

Answer 1

Resposta:

a-p

Explicação passo-a-passo:

Uma maneira de fazer é multiplicar pelo produto das raizes e depois usar as mesmas técnicas de quocientes de polinômios. Fica assim:

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \sqrt{x^2 + 2ax + b} - \sqrt{x^2 + 2px + q}$

Agora multiplicamos e dividimos por

$\sqrt{x^2 + 2ax + b} + \sqrt{x^2 + 2px + q}$

No denominador teremos essa expressão e no numerador as raizes somem. O limite fica

$\displaystyle \lim_{ x\to +\infty} \dfrac{2(a-p)x +(b-q)}{\sqrt{x^2 + 2ax + b} + \sqrt{x^2 + 2px + q}}$

Agora fatoramos x do numerador e denominador:

$\displaystyle \lim_{ x\to +\infty} \dfrac{ x \left( 2(a-p) + \dfrac{(b-q)}{x} \right)}{\sqrt{x^2 \left( 1 + \dfrac{2a}x + \dfrac b{x^2} \right)} + \sqrt{x^2 \left( 1+ \dfrac{ 2p}x + \dfrac q{x^2} \right)}} =$

$\displaystyle \lim_{ x\to +\infty} \dfrac{ x\left( 2(a-p) + \dfrac{(b-q)}{x} \right)}{x\sqrt{ 1 + \dfrac{2a}x + \dfrac b{x^2} } + x\sqrt { 1+ \dfrac{ 2p}x + \dfrac q{x^2} }} =\\[3ex] \lim_{ x\to +\infty} \dfrac{ 2(a-p) + \dfrac{(b-q)}{x}}{\sqrt{ 1 + \dfrac{2a}x + \dfrac b{x^2} } + \sqrt { 1+ \dfrac{ 2p}x + \dfrac q{x^2} }}$

Observe que agora a indeterminação sumiu. O numerador tende a 2(a-p) e o denominador tende a 2. Logo a resposta é a-p

Obs.: Esse tipo de limite são essencialmente derivadas. Fazendo a mudança de variavel t = 1/x o limte é o mesmo que

$\displaystyle \lim_{ t\to 0^+} \dfrac{ \sqrt{ 1 + 2at + bt^2} - \sqrt{1 + 2pt + qt^2}}{t}$

Sendo f e g as funções abaixo:

$f(t) = \sqrt {1 + 2at + bt^2} \quad \textrm{e} \quad g(t) = \sqrt{1 + 2pt + qt^2}$

Temos f(0) = g(0) = 1. Ou seja, o limite é o mesmo que

$\displaystyle \lim _{ t \to 0^+} \dfrac{f(t) - f(0)}{t - 0} - \dfrac{g(t) - g(0)}{t-0} = f'(0) - g'(0) = a - p$