Question

Calcule o limite abaixo usando as propriedades de limites:

$\lim _{x\to \frac{\pi }{2}}\left(2sen\left(x\right)-cos\left(x\right)+cotg\left(x\right)\right)\ \textless \ br /\ \textgreater$
​

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular o seguinte limite:

$\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(2\sin(x)-\cos(x)+\cot(x))$

Lembre-se que:

• O limite de uma soma de funções é igual a soma dos limites das funções.
• O limite do produto entre uma constante e uma função é dado por: $\underset{x\rightarrow c}\lim~a\cdot f(x)=a\cdot \underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)$.
• O limite de uma função contínua é, caso exista, calculado pelo valor da função naquele ponto: $\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)=f(c)$.

Aplique a regra da soma

$\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(2\sin(x))+\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(-\cos(x))+\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(\cot(x))$

Aplique a regra da constante

$2\cdot\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(\sin(x))-\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(\cos(x))+\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(\cot(x))$

Reescreva $\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$

$2\cdot\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(\sin(x))-\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~(\cos(x))+\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\lim~\left(\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)$

Aplique a propriedade de limites para funções contínuas

$2\cdot\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}$

Sabendo que $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ e $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$, temos

$2\cdot1-0+\dfrac{0}{1}$

Multiplique e some os valores

$2$

Este é o resultado deste limite.

Answer 2

Oie, Td Bom?!

$= lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }(2 \sin(x) - \cos(x) + \cot(x) )$

$= lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }(2 \sin(x) - \cos(x) ) + lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }( \cot(x) )$

$= lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }(2 \sin(x) ) - lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }( \cos(x) ) + \cot( log_{x⟶ \frac{\pi}{2} }(x) )$

$= 2 \: . \: lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }( \sin(x) ) - \cos( lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }(x) ) + \cot( \frac{\pi}{2} )$

$= 2 \sin( lim_{x⟶ \frac{\pi}{2} }(x) ) - \cos( \frac{\pi}{2} ) + \cot( \frac{\pi}{2} )$

$= 2 \sin( \frac{\pi}{2} ) - \cos( \frac{\pi}{2} ) + \cot( \frac{\pi}{2} )$

$= 2 \: . \: 1 - 0 + 0$

$=2 - 0 + 0$

$= 2 + 0$

$= 2$

Att. Makaveli1996