Matemática, perguntado por YuriSchusterMedeiros, 3 meses atrás

calcule o limite abaixo
limx→3 √x + 1 − 2/x − 3

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

Fazendo os cálculos e usando as propriedades corretas para os limites podemos concluir que o valor desse limite é 1/4.

Temos o seguinte limite:

$\displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}}}$

Se queremos encontrar o valor deste limite devemos primeiro resolvê-lo por substituição direta, se este limite obtém um indeterminado, devemos fatorar esse limite para não obter mais um indeterminado

$\displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{\sqrt{3+1}-2}{3-3}}}\\\\ \displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{\sqrt{4}-2}{0}}}\\ \\ \displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{2-2}{0}}}\\\\ \displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{0}{0}}}~... ~Valor ~indeterminado$

Vemos que com uma substituição direta no limite obtivemos um tipo indeterminado 0/0, como os limites não podem ter valores indeterminados, o que faremos é fatorar esse limite

Como temos um limite com um radical, o que vamos fazer é racionalizar o numerador, racionalizar o numerador, o que vamos fazer é multiplicar as duas partes da fração pelo conjugado do radical do numerador.

Como temos a seguinte operação com um radical no numerador $\rm{\sqrt{x+1}-2}$ , seu conjugado seria a operação $\rm{\sqrt{x+ 1}+2 }$ . Se multiplicarmos este conjugado em ambas as partes da fração, obtemos a operação:

$\displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{\left(\sqrt{x+1}-2\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}}}$

A parte do numerador da fração tem alguma semelhança com um binômio quadrado, lembre-se que um binômio quadrado é representado pela expressão $\rm{\left(a-b\right)\left(a+b\right) }$ esta expressão pode ser simplificada como $\rm{a ^2-b^2 }$ .

Se aplicarmos esta expressão no numerador obtemos a expressão:

$\displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{\left(\sqrt{x+1}\right)^2-\left(2\right)^2}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}}}$

Vemos que temos um radical quadrado, pois é uma raiz quadrada e isso elevado à sua operação inversa será eliminado, simplificando a expressão que obtemos:

$\displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{x+1-4}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}}}\\ \\ \displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{\cancel{x-3}}{\cancel{\left(x-3\right)}\left(\sqrt{x+1}+2\right)}}}\\ \\ \displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}}}$

Vemos que nossa expressão se tornou irredutível, pois a expressão já é irredutível, vamos tentar fazer a substituição direta nesse limite.

$\displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{1}{\sqrt{3+1}+2}}}\\\\ \displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}}}\\ \\ \displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{1}{2+2}}}\\ \\\green{\boxtimes~ \boxed{\displaystyle \rm{{ \ell im _ {x\to 3}\dfrac{1}{4}}}}}$