Question

Calcule o domínio, a imagem e a expressão da função inversa de f(x)=√(-5x+10) -6. Se alguém poder me ajudar, pfv...

Answer 1

olá,
Faremos primeiramente a análise do domínio da função. O fator limitante para o domínio é a raíz quadrada. Raízes quadradas só existem para números positivos. Portanto, números maiores ou iguais a zero. Desenvolvendo, temos:

-5x+10 >= 0 
-5x >= -10   ---> multiplicando ambos os lados por -1
 5x <= 10  -----> além da inversão de sinal, a desigualdade também inverte
 x <= 2 

Portanto, o domínio da função é Dom F = {x ∈ R | x ≤ 2} (lido como x pertence aos reais tal que x menor ou igual 2)

Para a imagem da função temos que ver o valor de f(x) nas fronteiras do domínio. Portanto, calcularemos f(2).
f(2) = √(-5*2+10)-6=-6.
f(2) = -6
Como dito anteriormente os valores de -5x+10 são sempre positivos, portanto a função é crescente e a imagem de f é Im F = {f ∈ R | f ≥ -6}.

A inversa é dada pela isolamento de x em relação a y(ou f(x)).
y = √(-5x+10) -6  ------- passando o -6 para outro membro
 y+6 = √(-5x+10) -------- elevando ao quadrado os dois lados
(y+6)² = -5x+10 ------ passando o 10 para o outro membro
(y+6)² -10 = -5x ------ fazendo o (y+6)² = y²+12y+36
y²+12y+36-10 = -5x ------- dividindo ambos os membros por -5
x = (-y²- 12y - 26)/5