Question

calcule o determinate:​

Answer 1

Calculando o valor do dterminante à baixo, obtem-se:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{vmatrix} \sf 1 & \sf 1 & \sf 1 \\ \sf a &\sf 2a & \sf 3a\\ \sf a^2 & \sf 4a^2 & \sf 9a^2 \end{vmatrix} } }$

Com os cálculos realizados concluimos que o determinante de Vandermonde é de:  $\Large \displaystyle \mathsf{ det\: V = 2a^3 }$ e que correspode alternativa correta a letra B.

A matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz do tipo:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 1 & \sf 1 & \sf 1 & \sf \cdots & \sf 1\\ \\\sf a_1 & \sf a_2 & \sf a_3 & \sf \cdots & \sf a_n \\ \\\sf a_1^2 & \sf a_2^2 & \sf a_3^2 & \sf \cdots & \sf a_n^2 \\ \\\sf \vdots & \sf \vdots & \sf \vdots & \sf \ddots & \sf \vdots \\ \\\sf a_1^{n-1} & \sf a_2^{n-1} & \sf a_3^{-1} & \sf \cdots & \sf a_n^{n-1} \end{bmatrix} } }$

Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.

O determinante é igual ao produto de todas as diferenças da segunda linha.

Os elementos formam uma progressão geométrica cujo o primeiro elemento é sempre igual a 1.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{vmatrix} \sf 1 & \sf 1 & \sf 1 \\ \sf a &\sf 2a & \sf 3a\\ \sf a^2 & \sf 4a^2 & \sf 9a^2 \end{vmatrix} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ det \: V = ( 2a -a) \cdot (3a-a) \cdot (3a-2a) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ det \: V = a \cdot 2a \cdot a }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf det\: V = 2a^3 }$

Alternativa correta é a letra B.

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