Question

Calcule o determinante da matriz M, utilizando uma das técnicas Regra de Chió ou Teorema de Laplace. Obs: Informe que método escolheu e mostre os passos detalhados!.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\det M=52}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o determinante da matriz $M=\begin{bmatrix}3&6&4&0\\1&2&1&1\\1&6&6&7\\2&0&0&0\\\end{bmatrix}$. Para isso, podemos utilizar vários métodos, como os citados Teorema de Laplace e Regra de Chió, assim como o Método de Dodgson e Escalonamento.

Porém, para facilitarmos, utilizaremos apenas o Teorema de Laplace e relembraremos a Regra de Sarrus.

Lembre-se que o determinante de uma matriz de ordem 4 pode ser calculado a partir da fórmula:

$\det A=\displaystyle{\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\cdot A_{ij}$, tal que $i$ e $j$ correspondem ao número da linha e da coluna do elemento da matriz, respectivamente. Já $a_{ij}$ é o elemento encontrado nesta linha e coluna e $A_{ij}$ é o cofator deste elemento, encontrado a partir da fórmula:

$A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det D_{ij}$, tal que $D_{ij}$ é a matriz formada pelos elementos que restam após eliminarmos a linha e coluna escolhida.

Assim, ao expandirmos a soma para matrizes de ordem $n=4$ e escolhermos uma fila, como a linha 4, teremos o determinante na matriz M:

$\det M=m_{41}\cdot M_{41}+m_{42}\cdot M_{42}+m_{43}\cdot M_{43}+m_{44}\cdot M_{44}$

A escolha da linha 4 tem um motivo: ela apresenta o maior número de zeros. Observe que o determinante será calculado a partir da soma dos produtos entre os elementos e seus cofatores, porém o cálculo de cada cofator é extenuante. Assim, ao fazermos esta escolha, reduziremos nosso determinante a:

$\det A=2\cdot M_{41}+0\cdot M_{42}+0\cdot M_{43}+0\cdot M_{44}\\\\\\ \det A=2\cdot M_{41}$

Dessa forma, nos resta calcular o cofator $M_{41}$. Utilizando a fórmula descrita acima, teremos:

$M_{41}=(-1)^{4+1}\cdot\begin{vmatrix}6&4&0\\2&1&1\\6&6&7\\\end{vmatrix}$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, teremos

$M_{41}=(-1)^{4+1}\cdot\left|\begin{matrix}6&4&0\\2&1&1\\6&6&7\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}6&4\\2&1\\6&6\end{matrix}\right.$

Aplicando a regra, teremos

$M_{41}=(-1)^{4+1}\cdot(6\cdot1\cdot7+4\cdot1\cdot 6+0\cdot 2\cdot 6-(4\cdot2\cdot7+6\cdot1\cdot6+0\cdot1\cdot6))$

Multiplique e some os valores

$M_{41}=(-1)^{5}\cdot(42+24-(56+36))\\\\\\ M_{41}=(-1)^{5}\cdot(42+24-56-36)\\\\\\ M_{41}=(-1)^{5}\cdot(-26)$

Calcule a potência, lembrando que a potência de expoente ímpar e base negativa resulta em um número negativo

$M_{41}=-1\cdot(-26)$

Multiplique os valores

$M_{41}=26$

Substituindo este valor na fórmula do determinante, teremos

$\det M=2\cdot 26$

Multiplique os valores

$\det M=52$

Este é o determinante desta matriz.