Question

Calcule o coeficiente angular da reta y=8/√x, utilizando a seguinte fómula :
m = lim f(x – Δx) – f(x)/ Δx , no ponto (x0, y0 ). Grato.
Δx→0

Answer 1

$\sf\boxed{ \boxed{f'(x_0) = \frac{ - 4}{ \sqrt{x_0 {}^{3} } } }}$

Explicação

A derivada pela definição é dada por:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

A questão quer saber qual a derivada da função y = 8/√x pela definição, isto é, calculada apenas pela expressão citada acima. Primeiro devemos calcular a função f(x + ∆x).

$f(x ) = \frac{8}{ \sqrt{x} } \: \to \: f(x + \Delta x) = \frac{8}{ \sqrt{x + \Delta x} }$

Tendo feito isto, vamos substituir na relação:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \frac{8}{ \sqrt{x + \Delta x} } - \frac{8}{ \sqrt{x} } }{\Delta x} \\ \\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \frac{8 \sqrt{x} - 8 \sqrt{x + \Delta x} }{ \sqrt{x + \Delta x}. \sqrt{x} } }{\Delta x} \\ \\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \frac{8 \sqrt{x } - 8 \sqrt{x +\Delta x} }{ \sqrt{(x +\Delta x).x} } }{\Delta x} \\ \\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ \frac{8 \sqrt{x} - 8 \sqrt{x +\Delta x} }{ \sqrt{x {}^{2} + x.\Delta x} } }{\Delta x} \\ \\ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{8 \sqrt{x} - 8 \sqrt{x +\Delta x} }{\Delta x\sqrt{x {}^{2} + x.\Delta x} }$

Se substituir o valor a qual o ∆x tende uma indeterminação será gerada, portanto vamos realizar uma manipulação algébrica:

$\frac{8 \sqrt{x} - 8 \sqrt{x +\Delta x} }{\Delta x \sqrt{x {}^{2} +x\Delta x} } . \frac{8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x +\Delta x} }{8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x + \Delta x} } \\ \\ \frac{(8 \sqrt{x} ) {}^{2} - (8 \sqrt{ x + \Delta x }) ^{2} }{(\Delta x \sqrt{x {}^{2} + x \Delta x}) .(8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x +\Delta x} } \\ \\ \frac{64x - 64x - 64 \Delta x}{(\Delta x \sqrt{x {}^{2} + x \Delta x}) .(8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x +\Delta x} } \\ \\ \frac{ - 64 \cancel{\Delta x }}{( \cancel{\Delta x }\sqrt{x {}^{2} + x \Delta x}) .(8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x + \Delta x} } \\ \\ \frac{ - 64}{(\sqrt{x {}^{2} + x \Delta x}) .(8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x +\Delta x} }$

Provavelmente sumimos com a indeterminação, portanto podemos substituir o valor a qual o ∆x tende.

$\frac{ - 64}{(\sqrt{x {}^{2} + x .0}) .(8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x +0} } \\ \\ \frac{ - 64}{ \sqrt{x {}^{2} } .(8 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x} ) } \: \: \to \: \: \frac{ - 64}{ \sqrt{x {}^{2} }.(16 \sqrt{x} ) } \\ \\ \frac{ - 64}{ \sqrt{x {}^{2}.x }.16 } \: \: \to \: \: \frac{ - 64}{16 \sqrt{x {}^{3} } } \: \: \to \: \: \boxed{\frac{ - 4}{ \sqrt{x {}^{3} } } }$

Portanto temos que esta é a derivada pela definição. Para finalizar a questão, basta analisar esta expressão no ponto (x0, y0).

$f'(x) = \frac{ - 4}{ \sqrt{x {}^{3} } }, \: para \: (x_0, y_0) \\ \\ \boxed{ \boxed{f'(x_0) = \frac{ - 4}{ \sqrt{x_0 {}^{3} } } }}$

Espero ter ajudado.