Question

Calcule o coeficiente angular da reta:

{x= -1 + 2t
{y= 3 - t

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o coeficiente angular da referida reta é:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf m_{r} = -\frac{1}{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as equações paramétricas da reta no plano cartesiano:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \Large\begin{cases} x = -1 + 2t\\y = 3 - t\end{cases}\,\:\:\:\forall t \in \mathbb{R}\end{gathered}$

Observe que as equações paramétricas foram montadas a parir de um ponto "P" e um vetor diretor "v", que são, respectivamente:

                         $\Large\begin{cases} P(-1, 3)\\\vec{v} = (2, -1)\end{cases}$

Para encontrar o coeficiente angular da reta "r", devemos:

• Determinar a equação simétrica da reta "r". Para isso, devemos isolar o parâmetro "t" em um dos membros de cada equação paramétrica e depois, igualar os valores dos parâmetros:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = -1 + 2t \Longrightarrow t = \frac{x + 1}{2}\end{gathered}$

                                     e

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 3 - t \Longrightarrow t = 3 - y\end{gathered}$

        Igualando os valores do parâmetro "t", temos:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} t = t\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{x + 1}{2} = 3 - y\end{gathered}$

       Portanto, a equação simétrica da reta "r" são:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \frac{x + 1}{2} = 3 - y\end{gathered}$  

• Calcular a equação reduzida da reta "r".

        Para fins de facilitar os cálculos, podemos inverter os membros da equação simétrica, sem perda alguma de generalidade. Então temos:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3 - y = \frac{x + 1}{2}\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} - y = \frac{x + 1}{2} - 3\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} -y = \frac{x + 1 - 6}{2}\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} -y = \frac{x - 5}{2}\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} -y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\end{gathered}$

• Recuperar o coeficiente angular da reta "r".

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:m_{r} = -\frac{1}{2}\end{gathered}$

✅ Portanto, o coeficiente angular da referida reta é:

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{r} = -\frac{1}{2}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$