Question

Um número é enquadrado quando, ao ser somado com
o número obtido invertendo a ordem de seus algarismos,
o resultado é um quadrado perfeito. Por exemplo, 164 e
461 são enquadrados, pois 164 + 461 = 252
. Quantos são
os números enquadrados entre 10 e 100?

A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10

Answer 1

Resposta 8( Letra C)

Answer 2

C) 8

Considerando "x" um número "enquadrado". E "c" o algarismo das centenas, "d" o das dezenas e "u" o das unidades, "x" poderá ser escrito como:  

x = 10.d + u  

Dessa forma, o número invertido será:  

y = 10.u + d  

De acordo com o enunciado, valores de "x" procurados são:

x + y = z²  

10d + u + 10u + d = z²  

11d + 11u = z²  

11.(d + u) = z²  

Dessa forma, procuramos os valores de (d + u) que, multiplicados por 11, resultem em quadrados perfeitos.  

Considerando que "d" e "u" são algarismos de 0 a 9, e que sua soma pode ser no máximo igual a 18 (9 + 9).  

E que "d" e "u" não podem ser nulos, pois procuramos números com dois algarismos.  

Teremos como possibilidades:  

11 x 1 = 11  

11 x 2 = 22  

11 x 3 = 33  

11 x 4 = 44  

.....  

11 x 11 = 121 = 11² (quadrado perfeito)  

.....  

11 x 17 = 187  

11 x 18 = 198  

Portanto, somente (d + u) = 11 atende à condição de resultar em um quadrado perfeito ao ser multiplicado por 11.  

Lembrando que 11 = 2 + 9 = 3 + 8 + 4 + 7 + 5 + 6, e que procuramos números entre 10 e 11, as  combinações possíveis são:  

29 + 92 = 121 = 11²  

38 + 83 = 121 = 11²  

47 + 74 = 121 = 11²  

56 + 65 = 121 = 11²  

Sendo assim, os seguintes números são "enquadrados":  

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92 (total de 8 números)

Bons estudos!