Question

Calcule o centro de gravidade da área formada entre as curvas y2= x ; x+y= 2 e y=0

Answer 1

O centro de gravidade da área entre as três curvas é CG(32/35,5/14).

Anexei no final o gráfico das figuras com a área entre eles em destaque.

A reta verde representa x + y = 2, a vermelha y² = x e a área azul representa a região que vamos calcular seu centro de gravidade.

Pelo gráfico vemos que x + y = 2 e y² = x se cruzam no ponto (1,1). Logo, y = 0 e y = 1 serão os limites da nossa Integral. Teremos:

$A = \int\limits^1_0 {2 - y - y^2} \, dy  = (2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3})|_{0}^1 = 7/6$

Aqui nós utilizamos x = y - 2 e x = y².

Os momentos em x e y serão:

$M_y = \int\limits^1_0 {(2-y-y^2)(\frac{2 - y + y^2}{2}}) \, dy = 16/15$

$M_x = \int\limits^1_0 {(2-y-y^2)*y} \, dy = 5/12$

O centro de gravidade será:

$CG_x = M_y/A = (16/15)/(7/6) = 32/35\\\\CG_y = M_x/A = (5/12)/(7/6) = 5/14$

CG = (32/35,5/14)

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