Calcule o centésimo termo da P.A (-4, -1, 2...)
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (-4, -1, 2,...), tem-se:
a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:-4
c)centésimo termo (a₁₀₀): ?
d)número de termos (n): 100 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 100ª), equivalente ao número de termos.)
e)Embora não se saiba o valor do centésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem (ainda que negativos, aproximam-se do zero) e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = -1 - (-4) ⇒
r = -1 + 4 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₁₀₀ = -4 + (100 - 1) . (3) ⇒
a₁₀₀ = -4 + (99) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)
a₁₀₀ = -4 + 297 ⇒
a₁₀₀ = 293
Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O centésimo termo da P.A.(-4, -1, 2 ...) é 293.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁₀₀ = 293 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
293 = a₁ + (100 - 1) . (3) ⇒
293 = a₁ + (99) . (3) ⇒
293 = a₁ + 297 ⇒ (Passa-se 297 ao 1º membro e altera-se o sinal.)
293 - 297 = a₁ ⇒
-4 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = -4 (Provado que a₁₀₀ = 293.)
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resolução!
r = a2 - a1
r = - 1 - (-4)
r = 3
an = a1 + ( n - 1 ) r
an = - 4 + ( 100 - 1 ) 3
an = - 4 + 99 * 3
an = - 4 + 297