Question

Calcule o campo elétrico gerado por um anel de raio r, com uma carga q uniformemente distribuída em seu corpo, em um ponto sobre o eixo do anel e à distância a do seu centro.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{E_x= \frac{k.x.Q}{(r^2+a^2)^{3/2}}}$

Explicação:

Se trata de um problema sobre Campo Elétrico.

Primeiro, temos que esquematizar o problema. Está em anexo a imagem (i), uma ilustração do anel com seu eixo, e as forças envolvidas.

Analisando a ilustração (i), vemos que cada parte infinitesimal do anel produz um campo elétrico ponto do eixo. Porém, decompondo o vetor campo elétrico em suas componentes x e y, vemos que as componentes y se cancelam, restando apenas contribuições em x.

Sabemos que, a equação do campo elétrico atuando em uma carga pontual é:

$\boxed{E=\frac{k.Q}{R^2}}$

Em termos infinitesimais:

$\boxed{ dE=\frac{k.dq}{R^2}}$

Onde:
k= constante eletrostática =1/4πε0
dq=carga total
d=distância

Analisando a imagem (ii), o triângulo menor da imagem (i), podemos ver que, por relações trigonométricas:

dEx=dEcos(θ)

Então, substituindo equação anterior nesta:

$dE_x=\frac{k.dq}{R^2}.cos(\theta)$

Na imagem (iii), o triângulo maior da imagem (i), podemos tirar, também por relações trigonométricas, que:

cos(θ)=x/R

Então, substituindo:

$dE_x=\frac{k.dq}{R^2}.\frac{x}{R}$

Temos também, dado pelo enunciado, que a carga é distribuída uniformemente pelo anel, então, sabemos que sua densidade linear é constante. Portanto:

$\lambda=\frac{dq}{ds} \rightarrow \boxed{dq= \lambda.ds}$

Então, a equação fica:

$dE_x=\frac{k.\lambda.ds.x}{R^3}$

Integrando, teremos:

$E_x=\int {\frac{k.\lambda.ds.x}{R^3}}$

Neste ponto, é necessário entender que, apenas ds ira variar, então, todo o resto dentro do integrando será constante.

$E_x= \frac{k.\lambda.x}{R^3} \int {ds}$

Como se trata de um anel, a integral de ds será o comprimento de uma circunferência de raio r, então:

$E_x= \frac{k.\lambda.x}{R^3}.2.\pi.r$

Por Pitágoras, podemos tirar a dependência de R, e deixar a equação em função de um valor que o problema dá, o r:

$R=\sqrt{r^2+x^2}$

Substituindo, temos:

$E_x= \frac{k.x.\lambda.2\pi.r}{(r^2+x^2)^{3/2}}$

Simplificando e colocando x como a, pois é a distância pedida, temos:


$\boxed{E_x= \frac{k.x.Q}{(r^2+a^2)^{3/2}}}$

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