Question

Calcule o arco x da figura abaixo:

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que a medida deste arco capaz é $\boxed{\bf x = 128^o}$

Explicação

O objetivo é determinarmos a medida x do arco capaz da circunferência acima.

• Teorema angular de Tales:

Como o ângulo de $\underline{87^o}$ não é inscrito, nem central e muito menos de segmento, ou seja, não podemos utilizar imediatamente as propriedades dos ângulos na circunferência.

• Se você observar a imagem anexada, podemos encontrar o suplemento do ângulo de 87°, sendo este interno ao triângulo maior.

Lembrando que suplemento é basicamente a soma dos ângulos resultar em meia volta.

$\bullet \: \: { \rm suplemento }\to \: \: \hat{x} + \hat{y} = 180 {}^{o}$

Vamos chamar o ângulo desconhecido de z e realizar esta soma citada acima.

$\: \: \: \: \: \: \hat{z} + 87 {}^{o} = 180 {}^{o} \to \: \hat{z} = 93 {}^{o}$

Conhecidos dois ângulos internos de um triângulo, podemos utilizar o Teorema angular de Tales.

• Onde este nos afirma que a soma dos ângulos internos de um triângulo resulta em $\boxed{\bf \hat{x}+\hat{y}+\hat{z}=180^o}$.

Como não sabemos a medida do terceiro ângulo, vamos nomeá-lo pela variável w. Sendo assim:

$\hat{z} + 23 {}^{o} + \hat{w} = 180 {}^{o} , \: \: mas \: z = 93 {}^{o} \\ 93 {}^{o} + 23 {}^{o} + \hat{w} = 180 {}^{o} \\ \hat{w} = 180 ^{o} - 116 {}^{o} \\ \boxed{ \hat{w} = 64 {}^{o} }$

• Ângulo inscrito.

Observe que este ângulo $\bf w$ que determinamos é um ângulo escrito no arco capaz de medida x, como pode ser visto na imagem.

• Existe uma propriedade para este tipo de ângulo, que menciona que a o ângulo é igual a metade do arco. Desta forma, temos então que:

$\frac{x}{2} = 64 {}^{o} \: \: \to \: \: x = 2.64 {}^{o} \: \to \: \: \boxed{x = 128 {}^{o}}$

Portanto esta é a medida do arco capaz.

Espero ter ajudado

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