Question

Calcule o 10° termo do desenvolvimento de (x+1) elevado a 13

Answer 1

Usando o coeficiente binomial e o binômio de newton, podemos descobrir que o décimo termo pedido é $286x^3$

O binômio de newton é escrito desta forma:

$(x+a) ^n=\sum_{k=0}^n\dfrac{n!} {k! (n-k)!} x^{n-k} a^k$

Onde $\dfrac{n!} {k! (n-k)!}$ é o coeficiente binomial, geralmente escrito da forma

$\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}$

Dados do problema

Seja o binômio $(x+1)^13$

Queremos saber qual é o décimo termo da expansão deste binômio.

Para isto, vamos primeiro calcular o coeficiente do binômio ao substituir n por 13 e k por 10 (pois queremos o décimo termo da expansão)

$\dfrac{13!} {10! (13-10)!}= \dfrac{13\times12\times11\times10!} {10! 3\times2} =13\times2\times11=286$

Substituindo na equação para obter o binômio de newton:

$(x+1) ^13_{decimo \, termo} =\dfrac{13!} {10! (13-10)!} x^{13-10} 1^10=286x^3\times1^10=286x^3$