Question

calcule lim x^2+5x+4/x^2+3x-4

Answer 1

É dado o limite:

$L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}$

Substituindo na função do limite o valor para o qual x está tendendo, obtemos uma indeterminação da forma 0/0. Assim, podemos resolver essa questão de duas maneiras:

1ª Maneira) Utilizando apenas manipulação da expressão presente no limite para eliminar a indeterminação:

Vamos desenvolver a função apresentada no limite dado, fatorando os polinômios do numerador e do denominador. Inicialmente, vamos encontrar as raízes do polinômio do:

- numerador:

$x^2+5x+4=0\\\\ \Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot4\\ \Delta=25-16\Longrightarrow \Delta=9\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5\pm\sqrt9}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm3}{2}\\\\ x_1=\dfrac{-5+3}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1~~~~x_2=\dfrac{-5-3}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4\\\\\ \Longrightarrow x^2+5x+4=(x+4)(x+1)$

- denominador:

$x^2+3x-4=0\\\\ \Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-4)\\ \Delta=9+16\Longrightarrow \Delta=25\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3\pm\sqrt{26}}{2\cdot1}=\dfrac{-3\pm5}{2}\\\\ x_1=\dfrac{-3+5}{2}=\dfrac{2}{2}=1~~~~x_2=\dfrac{-3-5}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4\\\\\ \Longrightarrow x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$

Reescrevendo o limite:

$L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}\\\\ L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{(x+4)(x+1)}{(x+4)(x-1)}\\\\ L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{(x+1)}{(x-1)}$

Note que agora não há mais indeterminação no limite e podemos substituir diretamente o valor para o qual x está tendendo:

$L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{(x+1)}{(x-1)}\\\\ L=\dfrac{((-4)+1)}{((-4)-1)}\\\\ L=\dfrac{-3}{-5}=\dfrac{3}{5}\\\\ \boxed{\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}=\dfrac{3}{5}}$


2ª Maneira) Como a indeterminação é do tipo 0/0, podemos aplicar diretamente a Regra de L'Hôpital:

$L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}\\\\ L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{[x^2+5x+4]'}{[x^2+3x-4]'}\\\\ L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{2x+5}{2x+3}$

Perceba que agora não há mais indeterminação no limite, e podemos substituir na sua expressão o valor para o qual x está tendendo:

$L=\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{2x+5}{2x+3}\\\\ L=\dfrac{2\cdot(-4)+5}{2\cdot(-4)+3}=\dfrac{-8+5}{-8+3}\\\\ L=\dfrac{-3}{-5}=\dfrac{3}{5}\\\\ \boxed{\lim\limits_{x\to-4}\dfrac{x^2+5x+4}{x^2+3x-4}=\dfrac{3}{5}}$