Question

Calcule lim menos infinito....
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Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf \lim_{x\to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x \: \: \bullet$

Se você observar, esse limite é um dos fundamentais, ou seja, possui valor conhecido, mas como é pedido para calcular, temos que fazer o processo para chegar no resultado que é o número de Euler (e).

Cálculos

Primeiro vamos utilizar uma propriedade de exponencial, dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf f(x) = e {}^{ln(f(x))} }$

Essa propriedade nos permite modificar uma exponencial (geralmente), a fim de facilitar o cálculo.

Aplicando a propriedade no limite, temos:

$\sf \lim_{x\to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x \: \: \to \: \: \lim_{x\to -\infty}e ^{ln \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x }$

De acordo com a propriedade de logaritmos, podemos fazer com que o expoente passe a ser um coeficiente que multiplica "ln":

$\sf \lim_{x\to -\infty}e ^{ln \left(1 + \frac{1}{x} \right)^x } \: \: \to \: \: \lim_{x\to -\infty}e ^{x \: . \: ln \left(1 + \frac{1}{x} \right) }$

Neste momento não resta muita coisa a se fazer, então podemos substituir o valor a qual o x tende e observar se o valor é o que buscamos.

$\sf \lim_{x\to -\infty}e {}^{ - \infty . \ln \left(1 + \frac{1}{ - \infty } \right) } \: \: \to \: \: \lim_{x\to -\infty}e {}^{ - \infty .0}$

Note que surgiu uma indeterminação no exponente, já que infinito multiplicado por 0 é um indefinição matemática. A saída que podemos buscar é tentar forçar a aplicação da propriedade L'Hôpital.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \: \sf \lim_{x\to -\infty}e {}^{ \frac{ln\left(1 + \frac{1}{x} \right) }{ \frac{1}{x} } }$

Se substituirmos novamente o valor a qual o x tende, vamos obter uma indeterminação não mais do tipo infinito multiplicado por 0, mas sim do tipo 0/0, nos permitindo utilizar a regra.

$\sf \: L'H \hat{o}pital \: \to se \: \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \: \: ou \: \: \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \infty }{ \infty } \\ \\ \sf ent \tilde{a}o : \: \sf \lim_{x\to a} \frac{ \frac{d}{dx} f(x)}{ \frac{d}{dx} g(x)}$

Aplicando a regra no limite, isto é, derivando o numerador e o denominador, temos:

$\sf \lim_{x\to -\infty}e ^{ \frac{ \frac{d}{dx} \left[ ln \left(1 + \frac{1}{x} \right) \right] }{ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x} \right) }} \: \: \to \: \: \lim_{x\to - \infty }e {}^{ \frac{ \frac{1}{1 + \frac{1}{x} } . \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x } \right)}{ - \frac{1}{x {}^{2} } } } \\ \\ \sf \lim_{x\to -\infty}e^{ \frac{ \frac{ 1 }{1 + \frac{1}{x} }. \cancel{\left( - \frac{1}{x {}^{2} } \right) }}{ \cancel{- \frac{1}{x {}^{2} } } }} \: \: \to \: \: \lim_{x\to -\infty}e ^{ \frac{1}{1 + \frac{1}{x} } }$

Chegado nesse ponto, vamos substituir mais uma vez o valor a qual o x tende:

$\: \: \: \: \: \sf \lim_{x\to -\infty}e^{ \frac{1}{1 + \cancel{\frac{1}{ \infty } } {}^{0} } } \: \: \to \: \: \lim_{x\to -\infty}e^{ \frac{1}{1 + 0} } \\ \\ \sf \lim_{x\to -\infty}e^{1}$

O limite de uma constante é a própria constante, então temos que a resposta deste limite é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \lim_{x\to -\infty}\left(1 + \frac{1}{x} \right)^x = e}$

Espero ter ajudado