Question

Calcule: integral sin^5(x)dx

Answer 1

∫ sen⁵(x) dx

******sen²(x)+cos²(x)=1  ==> sen²(x) =1 -cos²(x)

∫ sen(x) *sen⁴ dx

∫ sen(x) *[ sen²(x) ]² dx

∫ sen(x) *[ 1 -cos²(x)) ]² dx

*********u=cos (x)  ==> du=-sen(x) dx

∫ sen(x) *[ 1 -u² ]² (-du)/sen(x)

-∫ [ 1 -u² ]² du

- ∫ 1-2u²+u⁴ du

-[u-2u³/3 +u⁵/5]  + const

-u+2u³/3 -u⁵/5  + const 

Não esquecendo que   u =cos (x)   , temos então:

-cos (x) +(2/3)*cos³ (x)  -(1/5)*cos⁵(x)   + const 

Resposta:

-(1/5)*cos⁵(x)  + (2/3)*cos³ (x)  - cos (x)  + const