Question

calcule integral de linha de xy^4ds. sendo que a integral é da metade direita de x^2 +y^2 : 16

Answer 1

$\displaystyle\int\limits_{\gamma}{xy^{4}\,d\mathbf{s}}$


Sendo $\gamma$ a metade direita da circunferência de equação

$x^{2}+y^{2}=16.$


Assumindo o sentido de percurso usual, (sentido anti-horário), vamos parametrizar a curva $\gamma$ usando coordenadas polares:

$\gamma:\;\begin{array}{cc} \left\{\begin{array}{l} x(t)=4\cos t\\ y(t)=4\,\mathrm{sen\,}t \end{array}\right .\;\;&\;\;\text{com }-\dfrac{\pi}{2}\leq t \leq \dfrac{\pi}{2}. \end{array}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o vetor tangente $\gamma'(t):$

$\gamma'(t)=(x'(t),\;y'(t))\\ \\ \gamma'(t)=(-4\,\mathrm{sen\,}t,\;4\cos t)\\ \\ \gamma'(t)=4\cdot (-\mathrm{sen\,}t,\;\cos t)$


$\bullet\;\;$ Calculando o módulo (ou norma) do vetor tangente encontrado:

$\|\gamma'(t)\|=\|4\cdot (-\mathrm{sen\,}t,\;\cos t)\|\\ \\ \|\gamma'(t)\|=4\cdot \|(-\mathrm{sen\,}t,\;\cos t)\|\\ \\ \|\gamma'(t)\|=4\cdot \sqrt{(-\mathrm{sen\,}t)^{2}+(\cos t)^{2}}\\ \\ \|\gamma'(t)\|=4\cdot \sqrt{\mathrm{sen^{2}\,}t+\cos^{2}t}\\ \\ \|\gamma'(t)\|=4\cdot \sqrt{1}\\ \\ \|\gamma'(t)\|=4\;\;\;\;\text{ para todo }t \in \left[-\dfrac{\pi}{2},\;\dfrac{\pi}{2} \right ].$


$\bullet\;\;$ Substituindo $x$ e $y$ em função de $t,$ a integral de linha é calculada:

$\displaystyle\int\limits_{\gamma}{xy^{4}\,d\mathbf{s}}\\ \\ \\ =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}{(4\cos t)\cdot (4\,\mathrm{sen\,}t)^{4}\cdot \|\gamma'(t)\|\,dt}\\ \\ \\ =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}{4\cos t\cdot 256\,\mathrm{sen^{4}\,}t\cdot 4\,dt}\\ \\ \\ =4\,096\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}{\,\mathrm{sen^{4}\,}t\cdot \cos t\,dt}\\ \\ \\ =4\,096\cdot \left.\left(\dfrac{\mathrm{sen^{5}\,}t}{5} \right )\right|_{-\pi/2}^{\pi/2}\\ \\ \\ =4\,096\cdot \left(\dfrac{\mathrm{sen^{5}\,}(\frac{\pi}{2})}{5}-\dfrac{\mathrm{sen^{5}\,}(-\frac{\pi}{2})}{5} \right )\\ \\ \\ =4\,096\cdot \left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5} \right )\\ \\ \\ =4\,096\cdot \dfrac{2}{5}\\ \\ \\ =\dfrac{8\,192}{5}.$

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Obs.: Caso o sentido de percurso seja o sentido horário, o resultado da integral de linha será $-\dfrac{8\,192}{5}.$

Answer 2

se mudar a região para a parte superior do circulo (entre 0 a pi ) a resposta sera a mesma?