Question

Calcule ∂f/∂r e ∂f/∂s, sendo f(x,y,z)= xy+xz+yz onde x(r,s)=rs, y(r,s)= r²-s² e z(r,s)= (r-s)².

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que as derivadas parciais, através da regra da cadeia, resultaram em:

$\boxed{\frac{ \partial f}{ \partial s} = (r {}^{2} - s {}^{2} ).r + (r - s) {}^{2} .r - 2rs {}^{2} - 2s.(r - s) {}^{2} - 2r {}^{2} s + 2s {}^{2} r - 2r.(r {}^{2} - s {}^{2} )+ 2s.(r {}^{2} - s {}^{2} ) }$

$\boxed{ \frac{ \partial f}{ \partial r} = -s. (r {}^{2} - s {}^{2} ) + 4r {}^{2} s +s. (r - s) {}^{2} + 2r.(r - s) {}^{2} - 2s {}^{2} r + 2r.(r {}^{2} - s {}^{2} )}$

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \:\:\:\:\:\boxed{\bf f(x , y, z) = xy + xz + yz}$

O enunciado pergunta qual a derivada parcial dessa função em relação a s e em relação a r. Para realizarmos este cálculo, vamos seguir um roteiro para facilitar o entendimento.

• Roteiro:

$\begin{cases}1) \: montar \: o \: diagrama \: de \: derivadas \\ 2) \: encontrar \: a \: relac \tilde{a}o \: da \: derivada \: \: \\ 3) \: derivar \: a \: express \tilde{a}o \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{cases}$

O diagrama de derivadas é basicamente o caminho que devemos seguir para encontrar a expressão das derivadas que buscamos.

$\text {f (x, y,z) }\: \to \: \begin{cases} \text x \\ \text y \\ \text z \end{cases} \: \to \begin{cases} \text r \: e \: s \\ \text r \: e \: s \\ \text r \: e \: s\end{cases}$

A função f(x,y,z) depende das variáveis x, y e z, assim como cada uma destas (x, y e z) depende de r e s, então para determinar a derivada e f em relação a r e s, vamos fazer o seguinte caminho:

$\boxed{ \frac{ \partial f}{ \partial s} = \frac{ \partial f}{ \partial x} . \frac{ \partial x}{ \partial s} + \frac{ \partial f}{ \partial y} . \frac{ \partial y}{ \partial s} + \frac{ \partial f}{ \partial z} . \frac{ \partial z}{ \partial s} } \\ e \\ \boxed{ \frac{ \partial f}{ \partial r} = \frac{ \partial f}{ \partial x} . \frac{ \partial x}{ \partial r} + \frac{ \partial f}{ \partial y} . \frac{ \partial y}{ \partial r} + \frac{ \partial f}{ \partial z} . \frac{ \partial z}{ \partial r} }$

Agora basta substituir cada função no seu devido local e fazer a derivação, mas como é bastante extenso, vamos fazer esta derivação por partes, isto é, primeiro termo, segundo termo e assim por diante.

• Primeiro para a derivada em relação a s:

$\bf{1)}\: \frac{ \partial }{ \partial x} (xy + xz + yz) \: . \: \frac{ \partial }{ \partial s} (rs) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ (y + z) \: . \: r \: \: \: \: \: \: \: \\ \underline{ - - - - - - - - - - - - - - - - - } \\ \bf{2)} \: \frac{ \partial f}{ \partial y} (xy + xz + yz) \: . \: \frac{ \partial }{ \partial s} (r {}^{2} - s {}^{2} ) \\ (x + z) \: . \: ( - 2s) \\ \underline{ - - - - - - - - - - - - - - - - -}\\ \bf{3) }\: \frac{ \partial f}{ \partial z} (xy + xz + yz) \: . \: \frac{ \partial }{ \partial s} (r - s) {}^{2} \\ (x + y) \: . \: 2(r - s) \: . \: ( - 1)$

Substituindo os dados:

$\frac{ \partial f}{ \partial s} = (y + z).r + (x + z).( - 2s) + (x + y).2(r - s).( - 1) \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial s} = yr + zr - 2sx - 2sz + (x + y).( - 2r + 2s) \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial s} = yr + zr - 2sx - 2sz - 2xr + 2xs - 2yr + 2ys \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial s} = - yr + zr - 2sz - 2xr + 2ys$

Mas como sabemos as expressões que representam x, y e z, então:

$\boxed{\frac{ \partial f}{ \partial s} = (r {}^{2} - s {}^{2} ).r + (r - s) {}^{2} .r - 2rs {}^{2} - 2s.(r - s) {}^{2} - 2r {}^{2} s + 2s {}^{2} r - 2r.(r {}^{2} - s {}^{2} )+ 2s.(r {}^{2} - s {}^{2} ) }$

Não é necessário expandir a expressão, pois não é requerida pelo enunciado.

• Segundo para a derivada em relação a r:

$\bf{1) } \: \frac{ \partial }{ \partial x} (xy + xz + yz) \: . \: \frac{ \partial }{ \partial r} (rs) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ (y + z) \: . \: s \: \: \: \: \: \: \: \\ \underline{ - - - - - - - - - - - - - - - - - } \\ \bf{ 2) }\: \frac{ \partial f}{ \partial y} (xy + xz + yz) \: . \: \frac{ \partial }{ \partial r} (r {}^{2} - s {}^{2} ) \\ (x + z) \: . \: ( 2r) \\ \underline{ - - - - - - - - - - - - - - - - -}\\ \bf{3)} \: \frac{ \partial f}{ \partial z} (xy + xz + yz) \: . \: \frac{ \partial }{ \partial r} (r - s) {}^{2} \\ (x + y) \: . \: 2(r - s)$

Substituindo os dados:

$\frac{ \partial f}{ \partial r} = (y + z).s + (x + z).(2r) + (x + y).2.(r - s) \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial r} = ys + zs + 2xr + 2zr + (x + y).(2r - 2s) \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial r} = ys + zs + 2xr + 2zr + 2xr - 2xs + 2yr - 2ys \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial r} = - ys + 4xr + zs + 2zr - 2xs + 2yr$

De forma análoga, vamos substituir as expressões referentes a x, y e z:

$\boxed{ \frac{ \partial f}{ \partial r} = -s. (r {}^{2} - s {}^{2} ) + 4r {}^{2} s +s. (r - s) {}^{2} + 2r.(r - s) {}^{2} - 2s {}^{2} r + 2r.(r {}^{2} - y {}^{2} )}$

Não é necessário expandir a expressão.

Espero ter ajudado

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