Question

Calcule f'(p), pela definição, sendo dados:

a) f(x) = x2 + x e p = 1​

Answer 1

Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de derivada no ponto que o valor de f'(p) é 3✅

Definição de derivada no ponto

Derivada é a inclinação da reta tangente a uma curva qualquer. Em outras palavras é o limite de retas secantes traçadas ao longo de uma curva. A derivada no ponto pode ser obtida matematicamente assim:

$\huge\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f'(p)=\lim_{ x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}\end{array}}$

✍️Vamos a resolução da questão

Aqui iremos usar a definição de derivada no ponto para obter f'(p).

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf f'(p)=\lim_{x \to p}\dfrac{f(x)-f(p)}{x-p}\\\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2+x-[1^2+1]}{x-1}\\\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{ x^2+x-2}{x-1}\\\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}\dfrac{\diagup\!\!\!\!(x-\diagup\!\!\!\!1)\cdot(x+2)}{\diagup\!\!\!\!(x-\diagup\!\!\!1)}\\\\\displaystyle\sf f'(1)=\lim_{x \to 1}x+2\\\sf f'(1)=1+2\\\sf f'(1)=3\end{array}}$

Cálculos auxiliares

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf x^2+x-2|\underline{x-1}\\\sf\underline{-x^2+x}~~~~x+2\\\sf2x-2\\\sf\underline{-2x+2}\\\sf~~~~~~0\end{array}}$

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