Matemática, perguntado por annamachado2050, 8 meses atrás

Calcule essa integral Agradeço muito quem ajudar

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por elizeugatao
2

Vamos ter que Aplicar a redução de integrais :

\displaystyle \int sen^{n}(x)dx = \frac{-cos(x).sin^{n-1}(x)}{n} + \frac{n-1}{n}.\int sen^{n-2}(x)dx

vambora integrar.

\displaystyle \int\limits^ \pi_0 8sen^4(x).cos^2(x)dx

primeiro vamos colocar o 8 para fora, já que ele é constante.

\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x).cos^2(x)dx

agora vamos substituir  cos^2(x) = (1-sen^2(x)  

\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x).(1-sen^2(x))dx \\ \\\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 [sen^4(x) -sen^6(x)]dx

Subtração pode separar as integrais, então vamos fazer isso.

\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x)dx -8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx

agora vamos Aplicar a redução de integrais para cada uma :

fazendo para sen^4(x) :

\displaystyle \int\limits^\pi_0  sen^{4}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{4-1}(x)}{4}]\limits^\pi_0  + \frac{4-1}{4}.\int\limits^\pi_0  sen^{4-2}(x)dx \\\displaystyle \int\limits^\pi_0  sen^{4}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{3}(x)}{4}]\limits^\pi_0  + \frac{3}{4}.\int\limits^\pi_0  sen^{2}(x)dx

cuidado para não esquecer os limites de integração.

De cara você vê que a primeira parte ali vai zerar, sobrando apenas :

\displaystyle \frac{3}{4}.\int\limits^\pi_0  sen^{2}(x)dx

substituindo \displaystyle sen^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}

\displaystyle \frac{3}{4}.\int\limits^\pi_0 \frac{1-cos(2x)dx}{2} \\\displaystyle \frac{3}{4}.\frac{1}{2}\int\limits^\pi_0 (1-cos(2x))dx

separando a subtração em duas integrais

\displaystyle \frac{3}{8}[\int\limits^\pi_0 1dx - \int\limits^\pi_0cos(2x)dx]

agora é fácil :

\displaystyle \int\limits^\pi_0 1dx = \pi

\displaystyle \int\limits^\pi_0 cos(2x)dx = [\frac{sen(2x)}{2}]\limits^\pi_0 = 0

portanto :

\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^4(x)dx = \frac{3}{8}[\int\limits^\pi_0 1dx - \int\limits^\pi_0cos(2x)dx] =  \frac{3\pi}{8}

lembrando que tem o 8 lá fora multiplicando, então fica :

\fbox{\displaystyle 8\int\limits^\pi_0 sen^4(x)dx =  8.\frac{3\pi}{8} = \displaystyle 3\pi $}

Agora vamos fazer Aplicar a redução de integrais para  sen^6(x) :

\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^{6}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{6-1}(x)}{6}]\limists^\pi_0 + \frac{6-1}{6}.\int sen^{6-2}(x)dx

\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^{6}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{5}(x)}{6}]\limists^\pi_0 + \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx

A primeira parte ali vai zerar, sobrando apenas :

\displaystyle \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx

maravilhosamente já temos a integral do sen^4(x). Substituindo :

\displaystyle \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = \frac{5}{6}.\frac{3\pi}{8}

\displaystyle \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = \frac{5\pi}{16}

colocando o 8 que estava fora multiplicando, ficando assim :

\displaystyle 8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx = \displaystyle 8.\frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = 8.\frac{5\pi}{16}

ficando apenas :

\fbox{\displaystyle 8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx = \frac{5\pi}{2} $}

Voltando de onde tínhamos parado

\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x)dx -8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx

substituindo :

\displaystyle 3\pi - \frac{5\pi}{2} \to \displaystyle \frac{6\pi-5\pi}{2} \to \fbox{\displaystyle \frac{\pi}{2} $}

Ou seja :

\fbox{ \displaystyle \int\limits^ \pi_0 8sen^4(x).cos^2(x)dx = \fbox{\displaystyle \frac{\pi}{2} $} $}

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