Question

Calcule em função de pi, o perímetro dessa figura.

Answer 1

Resposta:

$18\pi$

Explicação passo-a-passo:

O perímetro da figura em cinza é soma dos arcos. Vide figura em anexo para melhor compreensão.

O ângulo $y$ pode ser calculado através do cosseno:

$cos.y = \frac{raio}{diametro}\\\\cos.y = \frac{6}{12}\\\\cos.y = \frac{1}{2}\\\\y = 60^{o}\\\\y = \frac{\pi}{3}$

Como a soma dos ângulos internos de um triêngulo é 180°:

$z + y + 90 = 180\\\\z + 60 + 90 = 180\\\\z + 150 = 180\\\\z = 30\\\\z = \frac{\pi}{6}$

O ângulo $x$ é reto. portanto:

$x = 90^{o}\\\\x = \frac{\pi}{2}$

Com os ângulos calculados podemos, podemos calcular o comprimento dos arcos:

$l = a.r$,

onde:

$l$ = comprimento do arco

$a$ = ângulo (em radianos)

$r =$ comprimento do raio

Comprimento do arco do círculo superior

$a = x + z\\\\a = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}\\\\a = \frac{3\pi + \pi}{6}\\\\a = \frac{4\pi}{6}\\\\a = \frac{2}{3}\pi$

$l = a.r\\\\l_{sup} = \frac{2}{3}\pi.6\\\\l_{sup} = 4\pi$

Comprimento do arco do círculo lateral

$a = y\\\\a = \frac{\pi}{3}$

$l_{lat} = y.r\\l_{lat} = \frac{\pi}{3}.6\\l_{lat} = 2\pi$

Comprimento do arco do círculo em cinza

O ângulo é de 180° (metade de uma circunferência completa. Lembre que $180^{o} = \pi$). Então:

$a = \pi\\\\l = \pi.6\\\\l = 6\pi$

Perímetro da área em cinza

São dois círculos superiores e dois laterais e um central (cinza):

$2.l_{sup} + 2.l_{lat} + l = \\\\2.4\pi + 2.2\pi + 6\pi = \\\\8\pi + 4\pi + 6\pi = \\\\18\pi$