Question

Calcule ∫c (3y - √z) ds, onde C é o arco da parábola z=y² e x =1 de A(1,0,0) a B(1,2,4).
Veja anexo:

Answer 1

Temos que achar uma parametrização para essa questão.

Ou seja, uma parametrização para a curva Z = y² 

Seja,

Z = y²

Fazendo y = t

Z = t²

Seja "C'' a curva r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

Mas, sabemos que temos "x"  = 1 nessa parametrização

De tal maneira que:

r(t) = 1i + tj + t²k

Sendo que, y = t e z = t²

Dessa maneira:

r(t) = 1i + tj + t²k

Onde,

x(t) = 1

y(t) = t

z(t) = t²
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Achando as derivadas:

dx/dt = 0

dy/dt = 1

dz/dt = 2t
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Achando os limites de integração para a integral, temos que "y'' da curva se coincide com o y da reta, já que a região de integração é fechada.

Dessa maneira,

 0 ≤ y ≤ 2

De acordo com os pontos A e B

Logo,

Se y = t 

Então,  0 ≤ t ≤ 2
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Achando ds ;

$\\ ds = \sqrt{(0)^2+(1)^2+(2t)^2} \\ \\ ds = \sqrt{1+ 4t^2} =  \sqrt{(1+4t^2)}$ dt
-------------------------------------------------

Então, a nossa integral fica:


$\\ = \int\limits^2_0 {(3(t)- \sqrt{t^2}) } \, . \sqrt{(1+4t^2)} dt \\ \\ = \int\limits^2_0 {(2t)} \, . \sqrt{(1+4t^2)} dt$

Fazendo "U = 1+4t² 

du = 8t .dt

du/8 = t.dt
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Vamos mudar o limite de integração para "U"

Sendo "U = 1 + 4t²

Quando t = 0 

u₀ = 1 +4(0²)  = 1

Quando t = 2

u₂ = 1 + 4.(2)² = 17
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∵

$\\ \int\limits^ \frac{17}{} _ 1 {(2). \sqrt{u} } \, .\frac{du}{8} \\ \\ = \frac{1}{4} .\int\limits^ \frac{17}{} _ 1 {u^ \frac{1}{2} \, du \\ \\ = \frac{1}{4} . \frac{u^ \frac{3}{2} } { \frac{3}{2} } |(1, 17) \\ \\ = \frac{1}{4} . \frac{ 2\sqrt{u^3} } {3} |(1,17)$

$\\ = \frac{ \sqrt{u^3} } {6} |(1,17) \\ \\ = \frac{ \sqrt{(17)^3} } {6} - \frac{1}{6} \\ \\ = \frac{17 \sqrt{17} }{6} - \frac{1}{6} \\ \\ = 11,5154$