Question

Calcule, através da definição, a derivada da função f(x)= $x^{2} + 2x + 1$.

Answer 1

Por definição de derivada, temos:

$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Aplicando o caso notável do quadrado do binómio, vem:

$f(x+h) = (x+h)^2 + 2(x+h) + 1 = x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 1.$

Assim, o numerador pode ser escrito na forma:

$f(x+h) - f(x) = x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 1 - (x^2 + 2x + 1) = \\\\= x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h + 1 - x^2 - 2x - 1 = \\\\= 2xh + h^2 + 2h.$

Dividindo agora por $h \neq 0$, vem:

$\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{2xh + h^2 + 2h}{h} = 2x + h + 2.$

Tomando por fim o limite $h \to 0$, obtemos a expressão desejada:

$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} (2x + h + 2) = 2x + 2.$

Resposta: $\boxed{f'(x) = 2x + 2}.$