Question

Calcule as seguintes potências dos números complexos abaixo:a) z=(1+i)^25b) [((1+i√3)) ⁄ ((1-i) )]^20

Answer 1

Olá.

Para responder essa questão, devemos usar vários conceitos, principalmente de produtos notáveis e de potências. 

Para desenvolver mais rapidamente, usarei formas para cálculo de produtos notáveis com números complexos, levando em consideração o modo z = a + bi, onde a é a parte real e bi a parte imaginária (i) e seu coeficiente (b).

Seguem as propriedades a serem usadas.

Potências:

$\mathsf{(a+b)^{m+n}=(a+b)^m(a+b)^n}\\\\\mathsf{\left[(a+b)^{r}\right]^s=(a+b)^{r\cdot s}}\\\\\mathsf{\left(\dfrac{a}{b}\right)^r=\dfrac{a^r}{a^r}}$

Potências de números complexos.

$\begin{array}{cclclcl}\mathsf{1}&=&\mathsf{i^0}&=&\mathsf{i^4}&=&\mathsf{i^8}\\\mathsf{i}&=&\mathsf{i^1}&=&\mathsf{i^5}&=&\mathsf{i^9}\\\mathsf{-1}&=&\mathsf{i^2}&=&\mathsf{i^6}&=&\mathsf{i^{10}}\\\mathsf{-i}&=&\mathsf{i^3}&=&\mathsf{i^7}&=&\mathsf{i^{11}}\end{array}$

Quadrado da soma de dois termos.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos.

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Cubo da soma de dois termos.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da diferença de dois termo.

(a + b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Manipulando o que foi supracitado, adaptando para os números complexos, teremos:

Quadrados (²)

$\begin{array}{l|l}\mathbf{Soma}&\mathbf{Diferen\c{c}a}\\\\\mathsf{(a+bi)^2=}&\mathsf{(a-bi)^2=}\\\\\mathsf{a^2+2abi+(bi)^2=}&\mathsf{a^2-2abi+(bi)^2=}\\\\\mathsf{a^2+2abi+(b^2)(i^2)=}&\mathsf{a^2-2abi+(b^2)(i^2)=}\\\\\mathsf{a^2+2abi+(b^2)(-1)=}&\mathsf{a^2-2abi+(b^2)(-1)=}\\\\\mathsf{a^2+2abi-b^2}&\mathsf{a^2-2abi-b^2} \end{array}$

Cubos (³)

$\begin{array}{l|l}\mathbf{Soma}&\mathbf{Diferen\c{c}a}\\\\\mathsf{(a+bi)^3=}&\mathsf{(a-bi)^3=}\\\\\mathsf{a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=}&\mathsf{a^3-3a^2bi+3a(bi)^2-(bi)^3=}\\\\\mathsf{a^3+3a^2bi+3a(b^2)(i^2)+(b^3)(i^3)=}&\mathsf{a^3-3a^2bi+3a(b^2)(i^2)-(b^3)(i^3)=}\\\\\mathsf{a^3+3a^2bi+3ab^2(-1)+b^3(-i)=}&\mathsf{a^3-3a^2bi+3ab^2(-1)-b^3(-i)=}\\\\\boxed{\mathsf{a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i}}&\boxed{\mathsf{a^3-3a^2bi-3ab^2+b^3i}}\end{array}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Questão 01

 

$\mathsf{(1+i)^{25}=}\\\\\mathsf{\left[(1+i)^{5}\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[(1+i)^{2}\cdot(1+i)^3\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[(1^2+2\cdot1\cdot i+i^2)\cdot(1^3+3\cdot1^2\cdot i+3\cdot1\cdot i^2+i^3)\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[(1+2i+i^2)\cdot(1+3i+3i^2+i^3)\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[(1+2i+(-1))\cdot(1+3i+3(-1)+(-i))\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[(1+2i-1)\cdot(1+3i-3-i)\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[(2i)\cdot(2i-2)\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[4i^2-4i\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[4(-1)-4i\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[-4-4i\right]^5=}\\\\\mathsf{\left[(-4-4i)^3(-4-4i)^2\right]=}$

$\mathsf{((-4)^3-3(-4)^2(4i)-3(-4)(4)^2+(-4)^3i)((-4)^2-2(-4)(4i)+(4)^2)=}\\\\\mathsf{(-64-12i(16)-(-12)(16)-64i)(16-2(-16i)+16)=}\\\\\mathsf{(-64-192i-(-192)-64i)(32i+32)=}\\\\\mathsf{(-64-192i+192-64i)(32i+32)=}\\\\\mathsf{(-256i+128)(32i+32)=}\\\\\mathsf{4.096i+4.096-8.192i^2-8.192=}\\\\\mathsf{4.096i+4.096-8.192(-1)-8.192=}\\\\\mathsf{4.096i+4.096+\not\!\!\!8.192-\not\!\!8.192=}\\\\\boxed{\mathsf{4.096i+4.096}}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Questão 02

$\mathsf{\left(\dfrac{1+i\sqrt3}{1-i}\right)^{20}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(1+i\sqrt3)^{20}}{(1-i)^{20}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left[(1+i\sqrt3)^2\right]^{10}}{\left[(1-i)^2\right]^{10}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left[(1^2+2(1)(i\sqrt3)-(\sqrt3)^2)\right]^{10}}{\left[(1^2-2(1)(i)-(1)^2)\right]^{10}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left[(1+2i\sqrt3-3)\right]^{10}}{\left[(1-2i-1)\right]^{10}}=}$

$\mathsf{\dfrac{\left[(2i\sqrt3-2)\right]^{10}}{\left[(-2i)\right]^{10}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left[(2i\sqrt3-2)^2\right]^{5}}{\left[(-2)^{10}(i)^{10}\right]}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left[(-(2\sqrt3)^2-2(2i\sqrt3)(2)+(2)^2)\right]^{5}}{\left[2^{10}(-1)\right]}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left[(-12-8i\sqrt3+4)\right]^{5}}{\left[-2^{10}\right]}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left[(-8-8i\sqrt3)\right]^{5}}{-2^{10}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(-8-8i\sqrt3)^3(-8-8i\sqrt3)^2}{-2^{10}}=}$

$\mathsf{\dfrac{((-8)^3+3(-8)^2(8i\sqrt3)-3(-8)(8\sqrt3)^2-(8\sqrt3)^3i)((-8)^2-2(-8)(8i\sqrt3)-(8\sqrt3)^2)}{-2^{10}}=}\\\\\\\mathsf{\dfrac{(-512+24i\sqrt3(64)+24(192)-(1.536\sqrt3)i)(64+128i\sqrt3-192)}{-2^{10}}=}$

$\mathsf{\dfrac{(-512+1.536i\sqrt3+4.608-1.536i\sqrt3)(128i\sqrt3-128)}{-2^{10}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(4.096)(128i\sqrt3-128)}{-2^{10}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(2^{12})(2^7i\sqrt3-2^7)}{-2^{10}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(2^{12-10})(2^7i\sqrt3-2^7)}{-1}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(2^{2})(2^7)(i\sqrt3-1)}{-1}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^{2+7}(i\sqrt3-1)}{-1}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2^{9}(i\sqrt3-1)}{-1}=}\\\\\\ \boxed{\mathsf{-2^{9}(i\sqrt3-1)}}$

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$